力学的エネルギーの保存・運動量と力積 （物体の半円筒面内の運動）

物理でこのようなタイプの問題に、今まで出合ったことがありません：

水平で滑らかな床の上に質量４mの台があり、台の内面は点Oを中心とした半径rの滑らかな半円筒面になっている。質量mの小球を半円筒面の上端Aから静かにはなしたところ、小球は鉛直平面内で内面に沿って運動した。ただし、台の形状は点Oを通る鉛直線に関して対称であり、台の密度は一様であるものとする。

小球が最下点Bを通過する瞬間の床に対する小球の速さ、および小球がAからBまで移動する際の水平移動距離はどのように表されるか。
答えは：小球の速さV＝（2/5）*sqrt(10gr)
水平移動距離＝（4/5）*r

今まで解いたことのないような問題のタイプで、その４mの半円筒面をなす物体はどう考えればいいか本当に分かりません。

よろしければ、ご解説をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/02 01:51

小球は、重力によって落下しますが、実際には「半円形の壁」があるので、その重力は「半円の接線方向」と「半径方向」との成分に分解され

・「半円の接線方向」の力は円運動を加速
・「半径方向」の力の「反作用（垂直抗力）」は円運動の向心力
になります。

点Ｏから見た小球の鉛直方向からの角を θ とすれば、「半円形の壁」に沿った角度は -90° ≦ θ ≦ 90° であり、
・「半円の接線方向」の力は mg*sinθ
・「半径方向」の力は mg*cosθ
です。

台が床に固定されて動かなければこれで運動方程式が作れ、要するに「単振り子」と同じ運動です。
ところが、与えられた問題では「滑らかな床」なので台が摩擦なく滑るため、斜面を押す力つまり「半径方向の力」の水平成分が台を動かします。
このとき、水平方向には「小球」と「台」とは相互の「内力」だけで動いている（外力はない）ので、「小球」と「台」の「重心」の水平位置は変わりません。また運動量が保存します。

大学レベルでは、この「時々刻々の動き」まで求められますが、高校物理では残念ながらそれはできないので（微分・積分が使えないので）、「Ａにあるとき」と「Ｂにあるとき」の「差分」でこれを求めます。

小球は、ＡからＢで台上を相対的に r だけ移動しますので、「床から見た重心の水平位置は変わらない」ということであれば、「床から見た」移動距離は
・小球は r * 4m/(m + 4m) だけ動く
・台は r * m/(m + 4m) だけ動く
ということになります。（重心位置からの距離は、質量比に反比例します。てこの原理みたいに考えればよいです）
つまり、小球の「床から見た」移動距離は
　 r * 4m/(m + 4m) = (4/5)r

速度は「小球が落下した高低差に相当する位置エネルギー」が、「小球と台の運動エネルギーの合計」になります。
小球の位置エネルギーの減少は
　Ep = mgr
小球の運動エネルギーは
　Ek1 = (1/2)m(v1)^2
台の運動エネルギーは
　Ek2 = (1/2)(4m)(v2)^2
従って
　mgr = (1/2)m(v1)^2 + (1/2)(4m)(v2)^2　　　　①

かつ、運動量保存より
　m*v1 = 4m*v2　　　　　　②

これらから
②より v2 = (1/4)v1
①に代入して
　mgr = (1/2)m(v1)^2 + (1/2)(4m)[(1/4)v1]^2
→　gr = (1/2)(v1)^2 + (1/8)(v1)^2 = (5/8)(v1)^2
→　(v1)^2 = (8/5)gr
よって
　v1 = √[(8/5)gr] = [√(40gr)] /5 = 2√(10gr)] /5

この回答へのお礼

:D 全部を分かりやすく、そして詳しく説明していただき、本当にありがとうございます！！！！
＠yhr２さんのご解説は本当に優れていると思います；）

私は今、日本留学試験の準備をしていますが、物理や数学で「解き方がよく分からない」
や「このような問題見たこともない」という問題が多く、大変困っていますね。

だが、＠yhr２さんのご回答はいつも力になり、勉強がなんとか進んでいく〜；）。
ご親切に感謝します！

お礼日時：2019/06/03 19:58

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/02 18:50

>p=mv1+4mv2

失礼va, vb がいつのまにかv1, v2 になってますね(^^;

ついでにこれらは速度の水平成分、xa、xbも水平成分です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/02 17:22

No.2です。

横から失礼します。

「重心が動かない」のイメージは、こんな動画を見てはいかがですか？

#2に書いた

＞（重心位置からの距離は、質量比に反比例します。てこの原理みたいに考えればよいです）

ということが直感的に理解できると思います。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/02 12:30

>ただその「重心が動かない」についての部分がちょっとイメージできません。

まず、系全体の運動量は
p=mv1+4mv2

重心の速度v=(mv1+4mv2)/(5m)=p/(5m)
つまり重心の速度というのは 全運動量/全質量です。
これは運動量と重心の双方の定義から出てきます。

当初何も動いておらず、水平方向の外カもないので
pは0のまま保存されます(運動量保存則)。

なので自動的に 重心の速度は常に0。つまり
重心は動かない

ということになります。

これを数式で表すと

(mxa+4mxb)/(5m)=0→mxa+4mxb=0

>なぜxa-xb=rという式が成り立ちますか？

王が当初位置よりxaすすみ、
台が当初位置よりxb進むと
台のA点も右へxb進みますから
玉とAとの距離はxa-xb

玉が台上のB点に到達すると
玉とAとの距離はrですから

r=xa-xb

この回答へのお礼

はい、今、分かりました〜
ご親切にありがとうございます！

お礼日時：2019/06/03 21:35

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/02 01:22

水平方向の運動量は保存されるから、玉と台を合わせたものの

重心はうごがない。つまり
玉と台の移動をxa、xb(右が正)、速度をva、vbとすると
mxa+4mxb=0 ①
mva+4mvb=0→vb=-(1/4)va ②
玉がB点のとき、xa-xb=r→xb=xa-r なので①から
mxa+4m(xa-r)=0→xa=(4/5)r

カ学的エネルギー保存則から

0=(1/2)mva^2+(1/2)4mvb^2 -mrg
②を使うと
(1/2)mva^2+(1/8)mva^2=mrg
va=√((8/5)rg)=2√(10rg)/5

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます；）
だいたい分かりましたが、ただその「重心が動かない」についての部分がちょっとイメージできません。
なぜxa-xb=rという式が成り立ちますか？

悪いですが、説明していただけないでしょうか。

お礼日時：2019/06/02 02:33