どなたか分かる方よろしくお願いします。 図のような長さがlの細くて固い棒の両端に質量mのおもりAとB

どなたか分かる方よろしくお願いします。
図のような長さがlの細くて固い棒の両端に質量mのおもりAとBが付けられたバトンが水平面内に置かれて静止している。質量mの別のおもりCが棒に対して直角方向から一定の速度v₀で近づき、おもりAに衝突した。衝突とともに、おもりAとCは跳ね返らずに合体した後、バトンは合体後の重心Gのまわりに時計方向に一定の角速度ωで回転しながら重心は一定の速度vで右方向に移動した。以下の問いに答えよ。ただし、おもりAとBをつないでいる棒の質量と変形は無視できる。
⑴合体後のバトン(全質量3m)の重心GとおもりACの 距離bを求めよ。
⑵合体後の重心Gの速度vを求めよ。
⑶合体後のバトンの角速度ωを求めよ。
⑷合体後の系全体の運動エネルギーKを求めよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/05 12:33

質問者さんは大学生以上ですか？

回転運動を取り扱うには、「慣性モーメント」とか「角運動量」といったものが必要になりますが、おそらく高校物理では習わないのではないかと思います。
ここでは(4)で質点の慣性モーメントが必要になります。


起こっている現象を想像・理解できますか？　まずはそれが先決。
できれば、「外から見た現象」（座標軸を３体の外に置いた場合）と、「内部から見た現象」（座標軸を３体の重心に置いた場合）などを自由に行き来できると、現象を正しくとらえ、起こっていることを正確に想像できると思います。

A, B, C 3体が作る「系」を考えると、現象はこの「系の内部」で起こり、外からの力は一切かかっていません。
ということは、この3体の「重心」の運動は衝突前後で変わりません。
衝突後に、AとCがくっついて、初めて「重心 G」が現れたように見えますが、この重心は衝突前からずっと「左→右」に一定に動いて来ます。それが、衝突後も同じ向き、同じ速さで「左→右」に一定に動いて行く。そういう運動です。
何故って、3体相互の「内力」以外には、外から加わっていないからです。

(1) 「重心」とは、３体の質量がその１点に集中して存在するとみなせる点です。
小学校（中学校？）でやる「てこの原理」で、重心の位置は「棒の長さを『質量の逆比』に分割する位置」になります。
つまり「AB を、Ａの側から 1:2 に内分する点」です。よって
　b = (1/3)L　　　　①

（別解）高校生らしく「力のモーメント」を使えば、この棒を「水平」にした「やじろべえ」を考えれば、Ａを「右側」にすれば、Ａ+Ｃに働く重力は 2mg、Ｂに働く重力は mg なので、「力のモーメント」のつり合いから
　2mg * b = mg * (L - b)
→　2b = L - b
→　3b = L
→　b = (1/3)L

(2) このような「外力が加わらない」運動では、３体の「運動量」が衝突前後で変わりません。物理的にいうと「衝突前後で運動量が保存される」「運動量保存」です。３体の「運動量の合計」が衝突前後で変わらないということは、衝突前の「運動量の合計」が「衝突後の重心の運動量」に等しいということです。
式で書けば
　mc * v0 + ma * 0 + mb * 0 = (ma + mb + mc) * v
ma = mb = mc = m なので
　m*v0 = 3m * v
→　v = (1/3)v0　　　　②

(3) これは、座標系を変えて、「重心位置にいる観測者」の視点で考えましょう。そうすると、右から左にまっすぐに（回転せずに）進んで来る棒のＡに、左から右に進んで来た C が衝突して棒の並進運動は止まって「3体の重心」周りに回転を始めたという現象です。
　重心の上の座標から見て、棒は v の速さで右→左に、C は v0 - v の速さで左→右に進んできます。それがＡに衝突した後の速さを v1 とすると（重心の上の座標から見ているので、上の v とは異なります）、ＡとＣの運動量保存より
　m * (v0 - v) - m * v = (m + m) * v1
②を使って
　m * (1/3)v0 = 2m * v1
→　v1 = (1/6)v0　　　　③

つまり、棒は「3体の重心」を中心として、この v1 を周速度とした回転運動を始めます。
その角速度は、この周速度を半径で割ればよいので、①を使って
　　ω = v1/b = [(1/6)v0]/[(1/3)L] = (1/2)v0/L　　　　④

一方、Bには何も起こっていないので、衝突前後とも v の速さで右→左に進み続けます。
つまり衝突前の右→左に進む v と同じ周速度で回転運動を始めたと考えればよく、その角速度は
　　ω' = v/(L - b) = (1/3)v0 / [(2/3)L] = (1/2)v0/L
となって④と一致します。

ということで、棒の角速度は
　ω = (1/2)v0/L　　　　④
です。

(4) 「3体の系」全体の運動エネルギーは、「重心の並進運動のエネルギー」と「重心周りの回転運動のエネルギー」の合計です。
・重心の並進運動のエネルギ
　質量が 3m、速さが②なので
　　Ek = (1/2)*(3m)*[(1/3)v0]^2 = (1/6)m*(v0)^2

・重心周りの回転運動のエネルギー
　これには「慣性モーメント」という「回りにくさ」という量が必要なので、高校物理では取り扱いません（積分が必須なので）。
　与えられた形状の場合には、「質点が2つ」ですから
　　I = (2m)*b^2 + m*(L - b)^2 = (2m)*[(1/3)L]^2 + m[L - (1/3)L]^2
　　= (2/9)mL^2 + (4/9)mL^2
　　= (2/3)mL^2
となり（この説明は省略します）
　　Er = (1/2)*I*ω^2 = (1/2) * (2/3)mL^2 * [(1/2)v0/L]^2
　　　= (1/12)m*(v0)^2

系全体の運動エネルギーは
　　K = Ek + Er = (1/6)m*(v0)^2 + (1/12)m*(v0)^2 = (1/4)m*(v0)^2

従って、衝突前の運動エネルギーは保存されていません。
(衝突前は (1/2)m*(v0)^2 なので）

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/06 13:24

(1)重心の定義通りに計算する

2m・b=(l-b)m なので
b=l/3

(2)運動量保存則を使う。
衝突前の運動量はmv0
衝突後の運動量は 重心の速度(v)×全質量(3m)
mv0=3mv
故にv=v0/3

(3)角運動量保存則を使う。

ここはANO2さんと違い、正攻法で攻めてみます。

G点(重心)を回転中心とすると

衝突直前の角運動量 L=bmv0
衝突直後 L=2b^2mω+(l-b)^2・mω
#後者の角運動量は移動を始めた重心を回転中心に据えることに注意

ここで衝突後の慣性モ-メントは
I=2b^2m+(l-b)^2・m={2b^2+(l-b)^2}m=(2/3)l^2・m
L=Iωともかける。
ω=L/I=bmv0/{(2/3)l^2・m}=(1/2)lv0

(4)重心の速度とωがわかれば計算は簡単。

E=並進エネルギー+回転エネルギー
=(1/2)全質量・重心の速度^2+(1/2)慣性モ-メント・角速度^2

E=(1/2)(3m)v^2 + (1/2)Iω^2

を計算して下さい(^^; 簡単明瞭。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/07/05 08:05

（１）ｂ＝ｌ/3

（２）ｖ＝ｖ₀/3
（３）回転運動量保存則からｌ２ｍ＝ｌ/3*2m+2l/32m=0,ω＝０
（４）１/2＊３ｍ＊ｖ²