慣性モーメントについて

慣性モーメントについて教えてください。
①穴あき円盤の重心を通って面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント。

②半球の重心を通ってxy 平面に平行な軸のまわりの慣性モーメント。

できるだけ急ぎでよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/10 16:44

No.1 です。

少しは自分でやってみましたか？

① 面倒なので「円板」の慣性モーメントの公式を使って計算します。

大きな円板の中心周りの慣性モーメント：面密度を ρとして
　IG = (1/2)(パイa^2 ρ)a^2 = (1/2)パイρa^4

切り取る方の小さな円板の中心周りの慣性モーメント：
　IS = (1/2)(パイ(a/2)^2 ρ)(a/2)^2 = (1/32)パイρa^4

大きな円板から小さな円板を切り抜いたときの重心の位置 G は、元の円板の中心から切り抜きと反対側に a/6 の位置なので、平行軸の定理を使って

大きな円板（切り抜きなし）の、Ｇまわりの慣性モーメント
　I1 = IG + M1*(d1)^2 = IG + (パイρa^2)*(a/6)^2
　　= (1/2)パイρa^4 + (1/36)パイρa^4
　　= (19/36)パイρa^4

小さな円板の、Ｇまわりの慣性モーメント
　I2 = IS + M2*(d2)^2 = IS + (パイρa^2 /4)*(a/4 + a/6)^2
　　= (1/32)パイρa^4 + (パイρa^2 /4)*(25/144)a^2
　　= (1/32)パイρa^4 + (25/576)パイρa^4
　　= (43/576)パイρa^4

従って、小円板を切り取ったときの慣性モーメントは
　I = I1 - I2 = (19/36 - 43/576)パイρa^4
　　= (261/576)パイρa^4
　　= (29/64)パイρa^4

② 半球の重心位置は、球の中心から (3/8)a の位置になることは、自分で計算して確認してください。

球の中心周りの慣性モーメントは
　(2/5)(4/3)パイρa^3 * a^2 = (8/15)パイρa^5
になるので、半球ではこの 1/2 の
　(4/15)パイρa^5　　　　　　　　　(a)

半球の重心を通り「切り口の平行な軸周り」の慣性モーメントを IG とすると、これを平行に (3/8)a だけ移動したものが (a) になるので、平行軸の定理から
　IG + [(4/3)パイρa^3 /2]*[(3/8)a]^2 = (4/15)パイρa^5
であり、従って
　IG = (4/15)パイρa^5 - [(4/3)パイρa^3 /2]*[(3/8)a]^2
　　= (4/15 - 3/32)パイρa^5
　　= (83/480)パイρa^5

この回答へのお礼

やってみました、回答ありがとうございます。
答え合わせに苦労してますが、頑張ろうと思います。助かりました。

お礼日時：2019/01/10 21:53

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/09 10:11

慣性モーメントを求めるポイントは下記になります。

(1) 「質点」の慣性モーメントを求める。これは、回転運動の「角運動量」が
　→L = →r × →p
で、
　→p = m(→v)
なので、各々が直交していれば、その「大きさ」が
　L = r * mv = r * mrω = mr^2 ω
で、これを直進運動の質量に相当する「慣性モーメント：I」を使って
　L = Iω
書くと
　I = mr^2
になる、と覚えてしまう。一種の「定義」だと思って暗記する。

(2) あらゆる形状の物体の慣性モーメントを求めるには、その物体の「微小体積 dm」と回転中心からその微小体積までの距離 r から、微小体積を「質点」とみなした慣性モーメント
　dI = r^2 dm
を記述する。dm は、その物体の全体を表わすのに都合のよい座標系を選ぶ。

(3) この微少体積を、求める物体の全体に「足し合わせる」つまり「積分する」ことで、全体の慣性モーメントを求める。

(4) 必要なら「平行軸の定理」を使う。

このやり方を愚直に適用すれば、いろいろな形状の慣性モーメントが求まります。
ただし、一度求め方を理解したら、基本的な形状（棒、円板、円環、球など）については「暗記」ないしは下記のような一覧表から読み取って使えばよいと思います。
http://hooktail.sub.jp/mechanics/inertiaTable1/


＞①穴あき円盤の重心を通って面に垂直な軸のまわりの慣性モーメント。

まず「重心位置」を求めないといけません。
元の円板（半径 R）の中心から「穴あき円板」の重心までの距離を L とすれば、面密度を ρ として、元の円板の中心まわりの力のモーメントのつり合いから
　パイ(R/2)^2 ρ * R/2 = [ パイR^2 - パイ(R/2)^2 ]ρ * L
より
　L = (R^3 /8)/[(3/4)R^2] = R/6

あとは、「積分のしやすさ」から、「元の円板」「くりぬいた部分の円板」の各々中心周りの慣性モーメントを求め、平行軸の定理を使って上記の「穴あき円板の重心」まわりに変換して、その「差」を求めればよい。


＞②半球の重心を通ってxy 平面に平行な軸のまわりの慣性モーメント。

半球が xyz 軸に対してどういう方向に置かれているのかを書かないと解けませんよ。半球の「切り口」が xy 平面に平行？
だとしたら、これも「元の球の軸を通る中心周りの、半球の慣性モーメント」を求めてから、平行軸の定理を使う方法かな。


慣性モーメントは「考え方」さえ理解すれば、あとは「力仕事」だけなので、まず「考え方」を理解するためにも「力仕事」を2～3ケース自分でやってみることが大事です。
本や書かれたものを「目で追って」いるだけでは、本質が理解できませんから。
課題のものも、他の例題を参考に自分でやってみてください。
↓　参考
http://eman-physics.net/dynamics/inertia.html
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …