物理です x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を 求める問題で重心のx座標を

物理です
x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる重心を
求める問題で重心のx座標を
1/S∮(0→1)x√1-x^2となっているのですが
なぜこうなるのかがよく分かりません
解説お願いします

No.1 回答者： SueR 回答日時： 2016/07/29 22:40

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
過去にも出てましたね。

http://hooktail.sub.jp/mechanics/CG/
こちらも詳しくて良い。

まず、x^2+y^2<=1 x>=0 y>=0で与えられる平面の質量をSとします。また平面の面密度を1とします。

微小空間T:= x'<x<x'+dx', x^2+y^2<1, x>0, y>0とすると、
Tの質量は1*(1-x'^2)^1/2*dx'なので原点を基準とした時、Tに掛かるトルクは
x'*(1-x'^2)^1/2*dx'となります。

これを0<x<1で積分したものと、重心におけるトルクは等しいので、
∫x'*(1-x'^2)^1/2*dx'=x*Sとなり、重心のx座標が導かれます。

ｘとx'の意味の違いには要注意ですね。
また最初に、与えられる平面の質量をS、単位面積当たりの質量を1としたので、S=π/4なのですが、問題がそうなっていなのでそのまま計算しました。

実際にはx=4/3π

一般的に半径aの均一な厚みの４分円の重心位置は
x=4a/3πになるようです。