円板の慣性モーメントを求める計算の途中の疑問。 半径a、質量Mの一様な円板について、重心を通って円板

円板の慣性モーメントを求める計算の途中の疑問。

半径a、質量Mの一様な円板について、重心を通って円板に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めます。
写真の文章の(4.9)の式において、面積の要素を考えるため、高次の微小量(dr )^2dΦは無視する。と書いてあるのですが、これがよく分かりませんでした。なぜ無視する必要があるのですか？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/12 08:36

2次以上の成分は、分割数を増やしてゆくと、ー次の成分に比して

小さくなってゆきます。図では黒い扇形で挟まれた部分が
長方形に近ずいて行く。
積分は無限に分割数を増やしたときの極限を求めるので
2次成分は消えてしまいます。

No.2 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/01/12 00:40

(dr)^2 を残しても良いですけれど、それを 0 から 2 pi まで d φ で積分しても、(dr)^2 は残りますよね。

更に 0 から a まで dr で積分しても、(dr)^1 が残りますね。
という事は dr → 0 の極限で 0 になって、最初から無視するのと結果は同じです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/12 00:27

＞なぜ無視する必要があるのですか？

「必要がある」ということではなく、「無視して構わない」ということです。
精度的にたいして変わらないということ。

そもそも、積分するということは、この「きざみ」をゼロの極限まで小さくするということですから。