図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M

図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M、 半径bの円柱形剛体が、その中心軸を水平に、空気抵抗を受けずに、 すべらず、 ころがる。 重力加速度をgとする。

円柱の質量分布は一様で、その中心軸のまわりの慣性モーメントは、Mb^2/2、 円柱が円筒から受ける摩擦力をFとするとき、

円柱の重心軌道の接線方向の運動方程式を、 θ(t) を未知関数とする微分方程式を求める。

このとき、円筒中心周りの角運動量を考えることにより微分方程式を求めることはできますでしょうか。

ご教授お願い致します。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  円柱の円筒中心回りの回転運動の運動方程式は
  
  I(d^2θ)/(dt^2) = -(mgsinθ)(a - b)
  
  となるとのことですが、
  
  添付の画像の解答例とは形が異なります。
  
  添付の画像は角運動量からの導出ではないですが、式はこれと一致しなくてもよいのでしょうか。
  
  ご教授お願い致します。

  
    補足日時：2023/02/15 13:19

No.7 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/16 12:35

>(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ+aF

これはθ=φ+C
という縛り、つまり
円筒に中心に固定された回転軸が有って
そこから軽い棒が伸びて
円柱と繋がっているイメージですね。
円柱は自由に回転出来ないので「滑らず」は不可。
Fは動摩擦になります。
剛体振り子ですね。

Mc²+I は 棒と一体化した円筒の中心軸を中心に回る円柱の
慣性モーメントです。これは全く別物の運動方程式です。

この回答へのお礼

貴重なお時間をいただき、誠にありがとうございました。
分からなかった点が解決できたと共に、より理解を深めることができました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2023/02/16 12:57

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/16 11:24

>運動方程式を、

>(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ　④
>
>という角運動量の形で表せることは理解できました。
>ただ、この式には摩擦力Fによるトルクが表れていないように見えます。

いえ、この式は
>円筒内面がつるつるなら
の場合。つまりF=0

静止摩擦で円柱が回る場合は
{Mc^2 + I(c^2/b^2)}α = -Mgcsinθ

つまり、静止摩擦力の影響で、円柱の重心周りの慣性モーメントが
変化した「ように見える」

ということです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なるほど、勘違いをしていました。

では、

(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ+aF

という式が間違っているのは何故なのでしょうか。

ご教授お願い致します。

お礼日時：2023/02/16 11:53

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/16 10:14

さらに補足

めんどくさいので
c = a - b とすると
dθ/dt=ω
d^2θ/dt^2=α

φは円柱の回転量で
dφ/dt=Ω
d^2φ/dt^2=β
とすると

円柱重心の円の接線方向の運動の方程式)
Mcα = F - Mgsinθ　①
となります。円の接線方向なので垂直抗力は無視できます。

Iβ = bF ② (円柱の回転運動の式)

φ = θ - aθ/b + C = - {(a - b)/b} θ + C = (-c/b)θ + C(適当な定数)
β = (-c/b)α ③(2つの各加速度の関係)

②、③ から
F =-I(c/b^2)α

Mcα = -I(c/b^2)α - Mgsinθ

{Mc^2 + I(c^2/b^2)}α = -Mgcsinθ

円筒内面がつるつるなら
{Mc^2 + I}α = -Mgcsinθ

で、Mc^2 + I は円柱の回転軸から見た慣性モーメントですから
静止摩擦によって　I の部分が増えたり減ったりすることに
なりますね。面白いですね。

以上の式は解析力学(ラグランジュの運動方程式)からも
同じものが出てくるので、多分合っていると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

運動方程式を、

(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ　④

という角運動量の形で表せることは理解できました。

ただ、この式には摩擦力Fによるトルクが表れていないように見えます。

私は最初に、重心の接線方向の運動は重力と摩擦力によって決まると考え、

(Mc^2 + I)α = -Mgcsinθ+aF

という式を考えました。

円筒中心の角運動量を考えればaFというトルクも式に入ってくると思うのですが、なぜ④式にはこの項は入らないのでしょうか。

お時間頂き申し訳ございません。
ご教授お願い致します。

お礼日時：2023/02/16 11:02

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/16 08:43

一応指摘しておくと

>F は、おそらく円柱と円筒との摩擦力かと思いますが、
>この摩擦力は円柱の円筒中心回りの回転運動には関係しません。

は間違い。円柱の重心の運動は重力と垂直抗力と静止摩擦で決まります。
Fは無視できません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはりFは無視できないのですね。理解できました。

それでは、③式を円筒中心周りの、円柱の角運動量を考えることにより、円柱の重心軌道の接線方向の運動方程式を求めることは可能でしょうか。

ご教授お願い致します。

お礼日時：2023/02/16 08:53

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/15 17:08

③は合っていると思う。

これと円柱の回転に関する運動方程式が必要。
円柱の回転をφとすると
l(d^2φ/dt^2)=bF ④
φとθの関係は、円筒面を転がってゆくと
面が傾いてくることに注意して
φ=θ-(a/b)θ=-{(a-b)/b}θ ⑤

Fは拘束力だから、消去すると方程式がすっきりします。
⑤を④に代入、それを③に代入すれば
変数はθだけになります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/15 11:53

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞I(d^2θ)/(dt^2)=-(mgsinθ)(a-b)+aF
＞
＞で正しいでしょうか。

F は、おそらく円柱と円筒との摩擦力かと思いますが、この摩擦力は円柱の円筒中心回りの回転運動には関係しません。
この摩擦力は「円柱自身の中心（重心）周りの回転運動」の原因となるだけです。

従って、円柱の円筒中心回りの回転運動の運動方程式は

　I(d^2θ)/(dt^2) = -(mgsinθ)(a - b)　　　①

となると思います。

それと連立させて「円柱自身の中心（重心）周りの回転運動の運動方程式」も立てる必要があります。
円柱自身の中心（重心）周りの慣性モーメント
　I0 = (1/2)Mb^2
を使って
　I0･d²φ/dt² = F･a = (mgsinθ)･a　　　②

そして、円筒中心回りの角度（角速度）と円柱自身の回転角度との間には「滑らない」という拘束条件
　aθ = bφ　　　　③
が成り立ちます。
　
①②③の連立方程式を解けばよいものと思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/15 10:27

＞円筒中心周りの角運動量を考えることにより

「何の」角運動量ですか？　半径 b の円柱の、ですか？

半径 b の円柱は、
・円柱自身の中心（重心）周りの角運動量
・円柱重心の、円筒の中心回りの角運動量
を持ちます。

どちらも「θ」の関数であり、各々の角運動量を求めるには「角速度」が必要であり、それを求めるには「働く力、トルク」と「角加速度」を用いた運動方程式（微分方程式）を考える必要があると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。　

円柱の円筒中心周りの慣性モーメントを

I=Mb^2/2+M(a-b)^2

とすると、

I(d^2θ)/(dt^2)=-(mgsinθ)(a-b)+aF

で正しいでしょうか。
宜しくお願い致します。

お礼日時：2023/02/15 10:49