幾何学的重心と物理的重心

密度、厚さ共に一様な三角形の板の重心がその幾何学的な重心と一致するというのは定義を比べれば大体理解できるのですが、証明しろといわれるとどこから手を付けていいのかまるで分かりません。
どなたか解説をお願いしたいです。

No.4 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/06/16 22:26

>重心がその幾何学的な重心と一致するというのは定義を比べれば大体理解できるのですが

そうでしょうか？わたしは理解できませんでした。三角形の針金の枠の重心は、幾何学的な重心とは一致しません。三角形の枠ではなく、「密度、厚さ共に一様な三角形の板」の場合のみ、その幾何学的重心と物理的重心は一致するのです。

三角形の幾何的重心はわかりますよね。３本の中線の交点（これは１点で交わります。）と物理的重心x0=1/S∫ρxdxdy,y0=1/S∫ρydxdy　（この場合はρ＝１としてよい）が一致することを計算で確認すれば良いのです。確かめて下さい。

No.3 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/06/16 09:01

もう少し正確に書くと、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E5%BF%83
にあるように、幾何学的重心は
∫(D)(g-x)dx=0で定められる点g（これは任意次元の変数です）、
物理的重心は∫(D)f(x)(g-x)dx=0で定められる点gですから(f(x)は密度関数）、f(x)=constのとき、∫(D)f(x)(g-x)dx=f(x)∫(D)(g-x)dx,
定数f(x)で両辺を割れば∫(D)(g-x)dx=0だから、たしかに重心は一致します。

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/06/16 08:35

∫cf=c∫f

（ただしcは定数）、ってだけのことのような気がしますが？重みつき分布の重みが一様だから、重みの関数が定数関数。つまり定数cとおけるので。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2006/06/16 08:31

本当に、証明しろと言われると、困りますねー。

逆に考えてみたらどうでしょう。たとえば、もし幾何学的な重心ではないとしたら、どうなるかと。