実体振り子の周期が子供に説明できずに困ってます。

小学生にメとロノームの上のおもりを下げるとどうしてふれが速くなるのか聞かれて困っています。
下にもおもりがあるので、上のおもりを下げれば重心が軸から遠くになるのは分かるのですが、
それで何で速くなるか分かりません。いろいろ検索していたら、
「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」と書いてありますが、どうしてですか？
子供でも理解できるように説明できる方はいませんか？　よろしくお願いします。

No.18 回答者： tadys 回答日時： 2008/08/19 08:51

メトロノームの場合重心位置の移動の効果よりは回転モーメントの影響のほうが大きいのではないかと考えます。

モーメントの大小による触れ方の差を実感してもらうのが良いのではないでしょうか。
長めの箸の端から２センチぐらいのところに５００円玉１～２枚をテープで取り付けたものを用意します。
５００円玉が上になるようにして５００円玉に近いほうの端を指でつまんで左右に揺らした時と
５００円玉から遠いほうの端をつまんで左右に揺らした時の差を感じ取ってもらえば良いでしょう。

No.17 回答者： noname#96418 回答日時： 2008/08/17 17:51

＃８では、重心についてはとりあえず触れなくてよいのでは、と書きましたが、お子さんが質問しておられるのでしたら、何か言ってあげた方がいいですよね。

例えば、次のように。

剛体の運動を考えるときには、重心の運動だけではなく、重心のまわりの回転運動も考える必要がある。

（Ａ）ふつうの振り子では質点（重心）のまわりの回転運動はないので、重心の振動だけ考えればよい。その結果、すでにわかっているように、重心が軸から遠ざかるほど周期は長くなる。剛体の重心も（できれば）そうなろうとする。

（Ｂ）ところが、剛体では重心のまわりの回転運動もある。メトロノームの場合、針（？）の傾きの変化がそれ。針の傾きは重心と同じ周期で振動するから、振動の周期は重心の運動と重心のまわりの回転運動の両方の性質で決まる。さて、上のおもりを下げると、重心は軸から遠ざかるが、重心からおもりまでの距離が減るので、重心のまわりの回転運動が容易になる（振り回しやすくなる）。さらに、重心のまわりに回転させようとする力の効果は大きくなる（下の「補足」参照）。よって振動する場合、その周期は短くなろうとする。

メトロノームは、Ａの効果よりＢの効果の方が大きくなるように作ってある。その秘密は、重心が軸の近くにあって、重心の回転運動が（重心を振り回すことが）重心のまわりの回転運動（重心のまわりに回すこと）に比べて容易に（重要でないように）なっているという点にある。そのため、Ｂの効果が勝って、結局、重心が軸から遠ざかるほど周期が短くなる。

これ以上の説明は小学校のレベルをはるかに超えるので、将来の楽しみにとっておこう。

補足：（Ｂ）で、重心のまわりの力のモーメントのうち、ふたつのおもりに働く重力の分は重心の定義によって合計でゼロ。軸からの抗力の分は軸から重心までの距離に比例する。よって、重心が下がるほど大きくなる。

お子さんにわかってもらえるかどうかはわかりません。
また、上の説明に間違いがあるかもしれませんが・・・どなたかが指摘してくださるでしょう。

No.16 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/17 10:34

しつこいようですが

＞普通のふり子は軸に重心が近づけば速くなるものですから、実体ふり子はどうして反対になるのか？ということなんです。

これは剛体振り子の場合、重心に全質量がある振り子として考えるといけないのはどうしてかという質問だと思います。
それに対して剛体振り子では復元力が小さくなるということを理由にして回答するのは十分ではありません。
多分その推論の前提には実体振り子では復元力はゼロのならないという判断があるのだろうと思います。でも剛体振り子の場合にゼロに近づくのはトルクです。トルクを計算すると重心までの距離が含まれていることが分かります。
実体振り子については　ｍａ＝Ｆで考え、
剛体振り子については　Ｉdω/dt＝Ｎで考える
というアンバランスなことをやっています。ｍａ＝Ｆの両辺に糸の長さＬ（＝重心までの距離）をかけてやると　ｍａＬ＝ＬＦでトルクの式になります。ａ＝Ｌdω/dtを使って変形するとｍL^2＝Iですから同じ形式の式になります。ＬＦ＝Ｎです。
どちらの場合も重心が軸に近づくと右辺はゼロに近づきます。
復元力の減少というだけの理由では説明にならないということが分かっていただけますでしょうか。
違いはどこにあるでしょう。
Ｉdω/dt＝Ｎ
で考えます。重心を軸に近づければ右辺のＮはどちらの場合もゼロに近づきます。
実体振り子（＝錘が軸の同じ側にある振り子）では左辺もゼロの近づきますが剛体振り子（＝軸の両側に錘のある振り子）ではゼロに近づく必要はないのです。
私が棒の両側に１つずつ錘の付いた振り子と片側に２つの錘がついた振り子とを比較した例を出したのはその部分を説明したかったからです。でもやさしく説明するというところが難しくてうまく伝わらない回答になってしまった様ですね。私が書いたことをヒントにしてもっと分かりやすい表現で回答してくれる方がおられるのを期待していたのですが。

私の回答の後に復元力だけで説明しよういう回答が出てきましたので改めて書かせていただきました。

No.15 回答者： Yosha 回答日時： 2008/08/17 06:49

ANo.3のYoshaです。

#3では、小学生用の説明にとの思いが強く誤りがあります。すべて破棄してください。

>。普通のふり子は軸に重心が近づけば速くなるものですから、実体ふり子はどうして反対になるのか？ということなんです。

#6さんの回答が一番良いようです。

で、船の復元力を使った説明ではどうでしょうか。

船の浮力の中心が回転軸の中心と考えます。船の重心は当然浮力の中心より下にありますので、正しく浮いています。

ここで、船のマストの先端(てっぺん)に重い物をくくり付けたとします。
そして、少しずつそのマストを長くしていくか、重さを増していくとします。
重心位置は徐々に上がっていきます。復元力もそれにつれて弱まりゆっくり復元するようになります。そしてある長さ(重さ)で、復元力はゼロになり傾いたら傾いたままになります。さらに重さを増していくと、復元力はマイナス、つまり転覆してしまいます。

復元力がゼロの時が、シーソーでいうつり合い状態です。
重心位置は徐々に上がっていくことが、「剛体振り子だと回転軸から重心が近い」であり、
#6さんの「重心にかかる重力が支点のまわりに回転させるトルクの減少で、回転させる働きも小さくなり、スピードが上がりませんので、振り子の周期が長くなります」となり、
「剛体振り子だと回転軸から重心が近い方が周期が長くなる」の説明文になります。

メトロノームは、「上のおもり」を一杯下げた(重心位置が離れた)とき、220くらいの速さになるよう、軸の下側の「近いところに」かなり重いおもりをつけています。振り子の原理です。

このもともとある「速い振り子」(振り子の原理)の周期を遅くするために、剛体振り子での、反対側に重りをつければ“振り子を振る力(重力)を打ち消す方に作用する”原理」(剛体振り子の原理)を利用しているということで、この原理が「実体ふり子が反対になる」理由と考えればよいのではないですか。

No.14 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/16 09:46

ｈｔｍｓ４２です。

何度も失礼します。
＃９ではシーソーを例に出しました。
公園にあるシーソーは支点の上に板が乗っている構造ですので復元力がありません（あっても小さいです）。
つりあいの状態から少しずらして振動を見るという状態を実現しにくいです。
野次郎平の方がいいのではと思いつきました。
メトロノームの場合とピッタリ同じではないですが周期が重心の位置ではなくて両端の錘の位置と質量で決まるというのが分かります。

ヤジロベーで両端に錘を付け加えることが出来るもの、錘をぶら下げる位置を変えることができるものを作リます。
釣りあっているヤジロベーを揺らします。このゆれ方は両端に錘を付け加えるとゆっくりになります。ヤジロベーの腕の長さを長く変えてから少し揺らします。やはりゆっくりしたゆれ方になります。
釣り合っているとき、重心は支点の真下にあります。揺らすとこの重心が真下から少し横にずれます。このずれはヤジロベーの形で決まるものですが腕の長さには無関係です。
重心の位置のずれが振動の原因となる復元力を決めますので錘をつける位置を変えても復元力は変わりません。
錘を重くするか、錘の付いている位置を支点から離れた所につけるかすれば振動がゆっくりになるということから重心の位置だけでは振動が決まらないということが分かります。
（傾くことによって少し高くなった重心が元の位置に戻る時の位置エネルギーの差がヤジロベーを揺らす運動エネルギーになります。同じ角速度で揺れる場合でも腕が長ければ大きな運動エネルギーが必要です。でも位置エネルギーの変化が一定ですから腕の長さを長くすれば角速度を小さくするより仕方がないのです。）

サーカスの綱渡りで長い棒（竿）を持ってバランスを取っていることがあります。これは人だけのときよりも棒をもったほうが揺れがゆっくりになるということでバランスをとりやすくなるということを利用したものです。野球のバットを手の平の上に立てる時、太い方を上にしてやるほうがバランスをとりやすいというのも同じ理由です。

作り方
プラスティックスの物差しのような細長い長方形の板を用意します。
中央の上の辺に近い方に穴を開けて糸をつけます。
これでぶら下げると水辺につりあいます。板の重心が支点のましたにありますので揺らしても元に戻ります。下の辺に近い方に錘をぶら下げる穴を開けます。左右同じ距離になるように２,３ヶ所あけると腕の長さを変えることができます。
上の辺に空けた穴と下の辺にあけた穴の高さの差で傾けた時の重心の位置のずれが決まります。

No.13 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/16 06:12

＞ただし、質量のない棒に質点が２つ付いたような場合（中抜けの串団子、ただし団子の大きさは無視）、片方のおもりの位置を変化させたときの周期の変化は、慣性モーメントIがhと関係するので単純には判断できなくなるはずです

慣性モーメントはｈと無関係です。
私の書いた
Ａ．　(ａ＋ｂ)/(ａ^2＋ｂ^2)
Ｂ．　(ａ－ｂ)/(ａ^2＋ｂ^2)
は＃１２の相等長さLの逆数です。
周期には√（ｇ／Ｌ）の形で入ってきます。
分母が慣性モーメントから、分子が重心の位置から来たものです。

２つの物体が質量のない棒についている場合、振動数を出すのは公式に頼る事になってしまい高校生では無理になります。でも最下点での角速度が２つの場合で異なるというのであればエネルギー保存を使って高校生でも出すことが出来ます。慣性モーメントを知らなくても同じ結果が出てきます。使うのは円運動の時のＶ＝ｒωです。
これで上の２つの式が出てきます。
分子の重心の部分は位置エネルギーの減少から出てきます。
分母の（ａ^2＋ｂ^2）の部分は運動エネルギーの和の式にＶ＝ｒωを代入したものから出てきます。

No.12 回答者： fine001 回答日時： 2008/08/16 01:04

実体振り子を単振り子にみなした場合（相当単振り子）の長さは、L＝I/Mh　と表現されます。

Mは質量、hは回転軸から重心までの距離、Iは実体振り子の慣性モーメントです。
この式から、確かにhが分母にありますので重心が回転軸に近いほど、相当単振り子の長さは長くなり、結果として周期は長くなるということになるわけです。ただし、質量のない棒に質点が２つ付いたような場合（中抜けの串団子、ただし団子の大きさは無視）、片方のおもりの位置を変化させたときの周期の変化は、慣性モーメントIがhと関係するので単純には判断できなくなるはずです。周期が長くなる場合と、逆に短くなる場合に分かれることになるのではないでしょうか。

ここからが、本題ですが、対象が小学生であるということから、単振り子の糸の長さが長いと周期が長いのと同様に、おもりまでの棒の長さが長いと周期が長くなるということでよいのではないかと思います。
てこの原理を用いて、トルクの話を説明するのも、重心が回転軸に近づくのは『つりあい』に近くなるからと説明することが正しいのでしょうが、中学受験を考えておられるとは云え小学生に対しては、結局どこかで『ごまかし』をしなければ説明が完結しないのではないでしょうか？高等学校の物理でも現在は慣性モーメントを取り扱わないのですから・・・。
それよりも、例えば、机上に上向きに固定した番線やバネにおもりを挿した物を振動させる場合（そのようなおもちゃなどがあると思うのですが）を観察したり、想起させるだけで十分なのではないでしょうか？
棒が長いのは、糸が長いのと同じだ・・・で、納得してくれないでしょうか？
意見です。

No.11 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/15 20:41

＞普通のふり子は軸に重心が近づけば速くなるものですから、実体ふり子はどうして反対になるのか？ということなんです。

単純化して考えます。
錘が１つか２つか、付いている位置が同じ側か反対側かの違いです。

糸だとたるみますから軽い棒で考えます。
棒の中央で軸に取り付けます。

Ａ．錘を１つ棒に取り付けます。普通の振り子と同じです。錘を取り付ける位置を上げると周期が短くなります。錘２つが同じ側についていれば２つの重心の位置が上がると周期は短くなります。２ｍの錘１つで考えるのとほぼ同じです。

Ｂ．錘２つを棒の両側に１つずつ取り付けます。この場合は錘を上げるか下げるかは周期の増減とは無関係です。つりあいの位置に近づく方向に動かすかどうかで周期が変わります。つりあってしまえば周期は無限大です。つりあッた時には２つの錘をあわせた重心の位置が軸に一致しています。

「質量ｍの錘が２つ、反対側にあるときの周期は重心の位置に２ｍの錘があるときと同じではない」のです。

この違いを具体的に言うには慣性モーメントが必要になります。
振り子の運動の原動力については重心の位置で考えることが出来ますので共通です。違いは慣性モーメンから出てきます。
Ａ．同じ側に２つの錘があるときは重心の位置が軸に近づくと錘の位置も軸に近づきます。
反対側に錘のあるとき、重心の位置が軸に近くても錘の位置が軸に近いか遠いかには関係がありません。
数式で書くと２つの錘の軸からの距離をａ，ｂ（ａ，ｂ正）として
Ａ．　(ａ＋ｂ)/(ａ^2＋ｂ^2)
Ｂ．　(ａ－ｂ)/(ａ^2＋ｂ^2)
の違いが周期の違いです。
分子が重心の位置です。分母は慣性モーメントから来たものです。Ａでａ＝ｂ＝Ｌとすれば１／Ｌになって普通の振り子の時の式になります。

重心の位置が０に近づくと
Ａでは分母もゼロになります。
Ｂではａ＝ｂになるだけですから分母の値には何の制限もありません。

No.10 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/15 19:50

#5,7です。

まず剛体振り子の場合に単純に重心位置では判断すべきでない
ことを理解することでしょうね。
ポイントは全体の慣性の大小にあるわけですから，小学生レベルの
素直な解釈としては，
「猫のように長いしっぽはまわしにくくのんびりふれるのに対して
ネズミのように短いしっぽはまわしやすくすばやくふらすことが
できる」というおおざっぱで本質的な理解を深めるべきでは
ないでしょうか？

No.9 回答者： htms42 回答日時： 2008/08/15 16:17

＃４です。

＃４ではピントのずれた解答を書いてしまいました。
無視してください。

改めて回答を考えました。
下に錘が付いていることが重要です。
wikiには次のように書かれています。
＞遊錘を移動させると重心の位置が移動するが、振り子全体が剛体である実体振り子では重心が軸に近づくにつれ周期が長くなることを利用し、単振り子（ひもの先におもりをつける振り子）に比べてとても小さいサイズで長い周期のリズムを刻めるように工夫されている。

この「重心が軸に近づく」というところが分かりにくいのですね。
この重心というのは上の錘と、と下の錘を合わせたものです。上の錘を上に挙げると重心が軸から離れるように見えるのは上の錘の重心だけを考えているからです。「全体の重心が軸に近づく」というのは天秤で言うとつりあいの位置に近くなるということです。つりあえば全体の重心は軸の位置になります。つりあいの位置から離れているほど動きが速くなります。

こどもにはシーソーで話をすればいいでしょう。
左　４－３－２－１－０－１－２－３－４　右
左側の１の所に体重８０ｋｇの大人が乗っています。右側の４に体重２０kgのこどもが乗るとつりあいます。
こどもが乗る位置を１，２，３と変えます。シーソーの動きは１，２，３とだんだんとゆっくりになっていきます。

左半分を隠しておいて右に１，２，３と位置を変えていくと「支点からの距離が大きくなるときに動きがゆっくりになるのはどうしてだろうか」という疑問が生じる事になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。まさに、「上のおもりを上げれば軸と下のおもりの間にある重心が軸に近づく」のです。それは分かっているのですが、「じゃあ、それでなんで周期がおそくなるの？」と聞かれているんです。普通のふり子は軸に重心が近づけば速くなるものですから、実体ふり子はどうして反対になるのか？ということなんです。
子供の中学入試の問題で上のおもりの位置と周期の関係は数校でているようなのですが、ふり子の計算などの話し流れで出ているのに、これだけ丸暗記とも思えないのですが・・。弱りました。

お礼日時：2008/08/15 16:50