半円筒の重心

解決済

質問者：shd
質問日時：2009/03/20 20:53
回答数：2件

半径R、厚さtの半円筒の重心位置（中心からの高さ）は
どのような値になるかを教えていただきたく、
書き込ませていただきました。

出来れば、算定根拠も教えていただけると幸いです。
宜しくお願いします。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (2件)

ベストアンサー優先
最新から表示
回答順に表示

No.2ベストアンサー

回答者： felicior
回答日時：2009/03/21 02:57

重心の「高さ」ということは、半円筒はトンネルのように伏せてあるわけですね。

トンネルの長さ方向は重心の高さに関係ないので、断面の平面図形の重心を考えます。
(大半円から小半円をくりぬいた形。勝手に“半円環”と名付けます。)
また、勝手ながら半径Rは外径と解釈して、内径はR-tとします。

平面図形に関して、図形を細かく分けたそれぞれの面積をdS、図形外に固定した直線
からの距離をyで表すと、重心の位置[y]は次の式を満たすものとして定義されます。
∫ydS＝[y]∫dS　　…◎

今回の問題に当てはめると、トンネルの断面内で、路面との交線(半円環の直径)
方向をx軸とし、中心から高さ方向にy軸を取れば、重心の高さは[y]となります。

右辺の∫dSは単純に半円環の面積ですから、(π/2){R^2－(R－t)^2}、
左辺の積分はy＝r*sinθと極座標変換すると、dS＝r*drdθ、
積分範囲は綺麗にr＝R－t～R、θ＝0～πとなりますから、
∫ydS＝∫∫r^2*sinθ*drdθ
＝(∫r^2*dr)×(∫sinθ*dθ)
＝(2/3){R^3－(R－t)^3}

よって、◎式より
[y]＝(4/3π){R^3－(R－t)^3}/{R^2－(R－t)^2}
と求まります。ちなみに
t→0(薄肉の極限)で、[y]→(2/π)R≒0.637*R
t→R(厚肉の極限)で、[y]→(4/3π)R≒0.424*R
となるようです。

積分する代わりにちょっと工夫することもできます。◎式の両辺に2πを掛けると
∫2πydS＝2π[y]∫dS
となり、(詳細は割愛しますが)これは
(x軸で図形を回転した体積)＝(その時重心が回転する距離)×(図形の面積)
と解釈できます。これを「パップス・ギュルダンの定理」といいます。

問題に当てはめて考えると、x軸(半円環の直径)を回転軸として半円環を一回転
させれば球殻（球から同心球をくりぬいた立体）になりますから、定理より、

(半円環を回転してできる球殻の体積)＝(半円環の重心の回転距離)×(半円環の面積)

という具合に球の体積の公式が使えるので、以下のものを代入すれば積分を一切
使わず同じ結果が出ます。

球殻の体積＝(4π/3){R^3－(R－t)^3}
半円環の重心の回転距離＝2π[y]
半円環の面積＝(π/2){R^2－(R－t)^2}