重心の問題

半径rの球の体積が4πr＾3/3であることを利用して、半球の重心の位置を求めよ

上記の問題の詳しい解き方を教えて下さい。出来れば答えまで、宜しくお願いします。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2011/06/27 15:23

半球の重心位置は、球の半径を r、

半球の断面の中心を垂直に貫く軸を x とし
原点を半球の断面の中心とする。
半球の密度をρとすると

x軸での重心位置=(∫ρx dv) / (∫ρdv)

(∫ρdv) は体積の ρ倍だから (2/3)πr^3ρ

dv を半球から厚みdxでx軸に垂直に切り取ったうすい円盤の体積とすると

dv = π(r^2-x^)dx

∫ρx dv = ∫πρ(r^2-x^)x dx (∫範囲 x=0～r)
=πρr^4/4

従って x軸での重心位置(球の中心からの距離)=(3/8)r

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/06/26 10:44

　球の対称性から考えて、半球の断面に垂直、かつ断面の中心（元の球の中心）を通る直線上に求める重心があることは明らかなので、断面の中心との距離を求めればいいことになります。

球を半割りにした断面をｘｙ平面上に、断面の中心を原点におきます。ｘｙ平面に平行で、原点からｚだけ離れた平面でこの半球を切るとその断面の式は
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｒ＾２＾－ｚ＾２　　（ｒは球の半径）
その断面積は
π（ｘ＾２＋ｙ＾２）＝π（ｒ＾２－ｚ＾２）
なので、この右辺を０からｔまで積分した
π∫（ｒ＾２－ｚ＾２）ｄｚ　（積分範囲は０～ｔ）
を半球の体積の半分、つまり２πｒ＾３／３と等しいとおいてｔについて解けばいけると思います。