流体力学の参考書に載っていた計算問題です

https://imepic.jp/20240318/758260

の問題で断面積の計算を

A = A1 - ΔA(s/Δs)

で求めるのはおかしくないですか。円形なら断面積は比の二乗に比例するはずですが。

質問者からの補足コメント

• 

  解答をくださった方、まことにありがとうございました。

    補足日時：2024/03/20 17:15

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2024/03/19 22:30

たしかに真の断面積をAtとすれば表題のA = A1 - ΔA(s/Δs)と

Atとの差は
A－At＝π(⊿R/⊿s)s(s－⊿s)　⊿Rは入り口と出口の半径差
となってｓ＝⊿s/2のときに誤差最大になる。
この問題の場合ｓ＝18ｃｍのとき20％くらいの誤差になって
あまり小さいとはいえません。

No.6 回答者： masa2211 回答日時： 2024/03/19 21:51

JISのレジューサの場合、同心であっても偏心であっても、全体の形は円錐台となるので、直径が1次式で変化するのであって断面積が1次式で変化するのではありません。

JISのレジューサの例
http://www.mie-corp.jp/mie/joint/img/pttugi03.PDF

よって、
A = A1 - ΔA(s/Δs)
という計算は、近似式で計算していることになるから、数学的にはオカシイです。でも、工学的にオカシイかどうかは別。工学的には、実用上十分な精度があればok。

で、JISのレジューサにおいて、
問題で使用されているレジューサに近いものでは
90mm→32mm（長さは全く違う）というのがあるのだけれど、レジューサの直径変化が半分というのですら少数派で、そこまでの変化が無いものが多いです。
で、直径変化が半分の場合で、A = A1 - ΔA(s/Δs)で計算した場合の誤差は12％。通常はもっと小さい。（問題文の場合は誤差がもっと大きいが.....）
よって、通常なら近似解でも充分。近似解では充分でない場合は、正しく計算する必要があります。

つまり、
A = A1 - ΔA(s/Δs)という計算は、通常なら大丈夫なのだけど、問題文の場合は断面変化がだいぶ大きいから、近似式で大丈夫なのかは怪しい、といったところ。

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/03/19 13:51

誰も問題を見て回答していないような気がするのはなぜだろう?

問題を見ればわかるがΔAやΔsが単なる入り口側と出口側の面積や位置の差分であり、微小量を意味していないのは明白なのだが。ΔAやΔsは明確な値を計算することができる数値に過ぎない。
(Δs=36 cmであり、断面が円形であればΔA=18π cm^2である)

ですから、ΔA/Δsを∂A/∂sと考えるとか全く見当はずれです。

断面が円形であるとすれば質問者の書いてあることは正しく、解答の式は間違っている。ただそれだけ。

No.4 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/03/18 23:38

> 微小な関係なのですから誰が見ても近似的には線形の式と判断すると思うのですけど。

ちょっと待った。

微小なら線形に違いないという、そこが既に数学的に間違っています。そこを誤解していると、この先の学問で苦労すると思います。

貴方の学問分野で将来的に制御理論を学ぶかどうか分かりませんけれども、制御分野では、わざわざ特定の動作点を中心とする【線形化】なる手法を使って線形化します。

わざわざ線形化近似するくらいだから、本は線形じゃないのです。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/18 22:40

ΔA(s/Δs) というのは　(dA/ds)s というほどのことでしょう。

例えば
　　A = π(Rs)² + C
の場合を考えれば、
　　dA/ds = 2πR²s
だから、
　　(dA/ds)s = 2π(Rs)²
何の不思議もないと思うけれど。

この回答へのお礼

> ΔA(s/Δs) というのは　(dA/ds)s というほどのことでしょう。
　ああ！ なるほど。
　しかしそれならばなんでそう、素直に書かないんでしょうかねえ（笑）。

お礼日時：2024/03/18 23:31

No.2 回答者： ゆたモン0323 回答日時： 2024/03/18 21:18

そんなことないだろって思いましたが、よく見ると確かに言われるとおりですね。

距離ｓに対して面積は１次式にならないので、この式は間違っていると思います。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/03/18 21:17

おかしくは無いです。

ΔA / Δs は、∂A / ∂s と考えれば、ある地点 s において微小距離 Δs 増加した時に面積が ΔA 増加する（ΔA が負の数である事に注意）という事なので。

∂A / ∂s が線形とは書かれていないのです。実際その後の所で具体的な値を代入すると、となって続く式は非線形で D^2 の項があるでしょう？

この回答へのお礼

回答まことにありがとうございます。

> ∂A / ∂s が線形とは書かれていないのです

　それならそうと書くべきではないですか。微小な関係なのですから誰が見ても近似的には線形の式と判断すると思うのですけど。
　これはごく初心者向きの参考書なのでなおさらです。それとも流体力学の参考書ってこんなノリで書いてるんでしょうか？
　別な参考書に乗り換えることも考えています。

お礼日時：2024/03/18 21:54