二重剛体振り子（ラグランジュ運動方程式）

下記のような二重の剛体振り子の運動方程式を考える場合に
ラグランジュ方程式が有効だという話を調べていてわかりました。

しかし運動エネルギーを考える際に、この場合の運動エネルギーは回転運動のエネルギーを考えるのか、それとも各座標ごとに分配して考えて運動エネルギーを考えたらよいのかよくわかりません。

詳しい方いましたらおねがいします。

No.4 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/11/20 20:00

物理シミュレーションソフトAlgodooでのシミュレーションで，はじめのうち数値解析結果をよく再現する結果を得ましたので，計算に間違いはなかったようです。

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/11/11 21:14

ラグランジアンを導くところまでやってみます。

添字の1は棒，2は円板をさすものとします。また「'」で時間微分を示します。

支点Dを原点に，水平右方向にx軸，鉛直下方にy軸をとると，円板の重心座標は，
x = r(2sinθ1 + 1/2・sinθ2)
y = r(2cosθ1 + 1/2・cosθ2)
速度成分は，
x' = r(2θ1'cosθ1 + 1/2・θ2'cosθ2)
y' = -r(2θ1'sinθ1 + 1/2・θ2'sinθ2)
速さ2乗は，
v^2 = x'^2 + y'^2 = r^2{4θ1'^2 + 1/4・θ2'^2 + θ1'θ2'cos(θ1-θ2)}

運動エネルギー
K1 = 2/3・mr^2θ1'^2
K2 = 1/2・mv^2 + 1/2・Iθ2'^2
　 = mr^2{2θ1'^2 + 3/8・θ2'^2 + θ1'θ2'cos(θ1-θ2)}
位置エネルギー
U1 = -mgrcosθ1
U2 = -mgr(2cosθ1 + 1/2・cosθ2)

ラグランジアン
L = K1 + K2 - U1 - U2
　= mr^2{8/3・θ1'^2 + 3/8・θ2'^2 + θ1'θ2'cos(θ1-θ2)} + mgr(3cosθ1 + 1/2・cosθ2)

となりました。

運動方程式の導出は機械的にすみますが，なかなか大変です。
私も３回計算しなおしました。数値積分による円板重心の軌道を添付します。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/11/10 20:50

ご質問の意味をちょっと勘違いしました。

「各座標ごとに分配して」というのは，直交座標成分に分けるという意味なのでしょうね。

棒の方は，重心の運動エネルギー＋重心周りの回転エネルギー
または，　　支点周りの回転エネルギー
を求めればよく，

円板の方は，一旦直交座標による重心の座標を回転角で表して，その時間微分をとって運動エネルギーを求めるのがよいと思います。運動エネルギーの総量は，
重心の運動エネルギー＋重心周りの回転エネルギー
となります。

かなり煩雑にはなりますが，ご希望があれば結果を記すこともできます。

この回答へのお礼

詳しく回答ありがとうございます。

その解法に則り計算してみたいと思います。
その際にちゃんと合っているかも知りたいので
結果が知りたいです。よろしくおねがいします。

お礼日時：2009/11/11 13:58

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/11/09 22:55

「各座標ごとに分配して考えて運動エネルギーを考え」るのが正しいと思います。

ただし，棒の部分はともかくとして円板の部分をこの考えで積分するのはかなりやっかいになりそうですね？　そこで，基本に立ち返って，

質点系の運動エネルギー＝重心の運動エネルギー＋重心周りの相対運動のエネルギー

となることから，

剛体の運動エネルギー＝重心の運動エネルギー＋重心周りの回転運動のエネルギー

と考えることができます。

棒の方は，上の合計は結果的に支点周りの慣性モーメントを用いた回転運動のエネルギーに帰着します。円板の方は，直接の支点E自体が運動していますので，そううまくはいかないのではないでしょうか。そこで，上の合計を直接求めるのが分かりやすいと思います。