大学の物理の問題が分かりません。教えてください＞＜

（1）半径aの一様な半球体の重心を球心からの距離で求めよ。
（2）半径aの扇形板（中心角α）の重心を円の中心からの距離で求めよ。
（3）半径aの半円板の重心を円の中心からの距離で求めよ。
（4）半径aの円弧（中心角α）の重心を円の中心からの距離で求めよ。
　以上の密度は一様とする。
（5）長さLの細い棒の線密度ρが、一端でρ1で、棒に沿って一様に増加し、多端でρ2になっている場合の重心を求めよ。
（6）基準点Oに対するn質点系の重心rGは
　 n n
rG=(Σmiri)/Σmi
i=1 i=1
と書ける。これは他の基準点O´を用いても常に同一の点になることを示せ。

の6問です。多くてすみません＞＜1つでも分かる方がいらっしゃればどうか回答よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/10/11 23:14

重心の定義に基づいて計算をする。

小文字のrは全て位置ベクトルを表すものとします。
重心の位置rGは密度ρ(r)、体積要素dvを用いて
rG=∫ρ(r)rdv/∫ρ(r)dv
となります。もちろん∫ρ(r)dv=M (M:対象となる物体の質量)です。

この問題は、座標系をどのように取ればよいか、ρ(r)がどのような式になるかを考えれば後は計算するだけ。

(1)xyz座標で、半球がz≧0の領域にあるとすると
ρ(x,y,z)=M/{(2/3)πa^3} (x^2+y^2+z^2≦a^2,z≧0),0(それ以外)
となります。積分の領域をx^2+y^2+z^2≦a^2,z≧0に限定すれば、ρ(x,y,z)は定数とみなせます。そのため、ρ(x,y,z)で約分できます。
rG=∫ρ(r)rdv/∫ρ(r)dv=ρ∫rdv/{ρ∫dv}=∫(x*i+y*j+z*k)dxdydz/{(2/3)πa^3}
(i,j,kはx,y,z方向ベクトル)
x,yについての積分ではx*iは奇関数であるため"0",同様にy*jも"0"となる。
z*kは、z座標がzの時の断面積倍になることから
rG=∫[0→a]z*π(a^2-z^2)*kdz/{(2/3)πa^3}
後は簡単な積分計算です。

(2)-(4)も密度は一定なので、ρ(r)の大きさだけ計算すれば後は計算するだけでしょう。適当な座標の取り方をすればかなり簡単に計算できます。
形状の対称性を使うとより計算を少なくできます。
面密度、線密度についてはδ関数を使うと簡単に表現できるのですが、そこまでしなくとも計算は可能でしょう。

(5)はρ(r)がrに依存する形になりますが、かなり簡単な形ですのでさほど難しくはありません。

(6)基準点を変えたとき、位置ベクトルは基準点の位置のずれ分変化します。
OからみたO'の位置ベクトルをrO'とでもすると
ri'=ri-rO'
となるので代入すればよいでしょう。rG'とrGもrO'だけ違うことをお忘れなく。