【力学】ばねの問題がわかりません．．．

次の問題がどうしてもわかりません．．．力学に詳しい方がいらっしゃいましたら，どうかお力をお貸しください．
問題は次のようになっています．

図のように水平で滑らかな床に質量mA, mBの小球 A B を置き ばね定数kの軽いばねでつなぎ静止させた。ある瞬間に A に右向きの速度を与えたところ この系の重心から見て A B はそれぞれ単振動した。重心から見た B の単振動の周期はいくつになるか．

答えは, 2π( mA*mB/( (mA+mB)k ) )^(1/2)になるらしいのですが導出する方法がわかりません．
なんとなく運動量保存の法則やエネルギー保存の法則を利用すれば溶けそうな気もするのですが．．．

力学に精通している方がいらっしゃいましたらどうぞよろしくお願いいたします．

No.3 ベストアンサー 回答者： nishi16 回答日時： 2018/03/03 21:10

No.1 ですがご指摘の通りで正解です。

はじめA, Bの位置を逆に解いていたのを修正したときに
左辺を直すのを忘れてました。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます！
そうですよね，安心しました！おかげさまでスッキリ理解することができました！
また何かありましたらどうぞよろしくお願いいたします．

お礼日時：2018/03/03 22:07

No.2 回答者： イプシロン 回答日時： 2018/03/03 21:02

積分とかわけわからんことしなくても.....たしかこれって物理のエッセンスの問題ですよね？これは一応基礎中の基礎問題なので.....

自然長でのバネの長さをLとする
重心OについてBO=mAL/(mA+mB)
重心は等速運動をするの、重心から見たときOA間 OB間のバネ定数は一定

よってBO間のバネ定数
Kb=K/(BO/L)=K(mB+mA)/mA
以上よりT=2π√mB/Kb =2π√mAmB/K(mA+mB)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！もう少し考えてみようと思います！

お礼日時：2018/03/03 22:06

No.1 回答者： nishi16 回答日時： 2018/03/03 01:31

力学に精通はしていないのですが，

難しく書いているだけでただの単振動の問題だと思いますよ。
運動中に外力はかからないので，重心運動と相対運動に分離できますよね。
重心からみた単振動の周期を求めるので，相対運動だけ求めたらいいですかね。
（"Bの"と書いてありますが，重心から見た座標系なのでAでも同じです。）

積分とか使っていいのかは分かりませんが，
A, Bの位置，ばねの長さをそれぞれxA, xB，lとすれば，運動方程式が
　d^2 xA/dt^2 = -(k/mA){(xB - xA) - l}
　d^2 xB/dt^2 = (k/mB){(xB - xA) - l}
となって，辺々引いて相対座標 x = xB - xAとすれば
　d^2 x/dt^2 = -k (mA + mB) / (mA * mB)(x - l)
が（計算をミスってなければ）得られます。
あとは，普通に解いてもいいですし，
バネ定数 k，質量 mA * mB / (mA + mB) の単振動の式だと分かればそれまでです。

間違ってたら申し訳ないですが・・・。

この回答へのお礼

早いご回答ありがとうございました！とても助かります．
わかりやすく教えていただきありがとうございました．おかげさまで概ね理解できたと思っております．ただ一点質問があるのですが，
d^2 xA/dt^2 = -(k/mA){(xB - xA) - l}
d^2 xB/dt^2 = (k/mB){(xB - xA) - l}
この式は本来なら，
d^2 xA/dt^2 = (k/mA){(xB - xA) - l}
d^2 xB/dt^2 = -(k/mB){(xB - xA) - l}
ではないでしょうか？（間違っていたら申し訳ありません）

お礼日時：2018/03/03 09:53