物理の問題(電位の求め方)について

物理の問題がわからないのでどなたか助けてくれませんか。よろしくお願いします。
3次元空間に (x, y, z) の直交座標をとり、(a/2,0,0)に電荷 Q の質点を置き、(−a/2,0,0)には電荷−Qの質点を置く。
1. このとき、位置 (x, y, 0) での電位 ϕ(r) を求めなさい。
2. a が r(≡√(x^2 + y^2)) より十分小さいとき、1. で求めた電位はϕ ≈Qax/4πϵ₀r^3と近似されることを示しなさい。ここで、u ≪ 1 のとき、 1/√(1 + u)≈ 1 −u/2とテーラー展開により近似できることを用いなさい。
3. 2. の結果を用いて、位置 (x, y, 0) での電場の x 成分及び y 成分、すなわち Ex、Ey を求めなさい。

質問者からの補足コメント

• 電荷－Qの方は1/L2≒(1/r)(1-ax/(2r^2))になるということでよろしいのでしょうか？
  また、電荷Qと電荷－Qの距離を求めた後は2つの結果を足して、電荷から距離Lの電位に代入すればよろしいのでしょうか？
  
  物理が苦手で難しく、なんとか理解できるようにしたいです。お願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/08 16:37

• 1の電位がQax/4πϵ₀r^3と求めることができるのはわかりました。しかし、２の問題がよくわかりません。同じ値をテーラー展開で近似の証明をすることはできるのでしょうか。同じ値の近似っておかしいですよね？
  
  すみませんが、誰か教えていただけないでしょうか。

    補足日時：2020/07/08 21:01

• すみません。近似せずに計算するのがわからなくなり、導き出せませんでした。できれば途中式も含めた答えを教えていただきたいです。

    補足日時：2020/07/09 21:24

• 問題1の回答はこのような式でよろしいのでしょうか？
  間違いがあれば指摘、お願いします。

  
    補足日時：2020/07/10 21:06

No.8 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/07/11 05:30

1/√(r^2 －ax +a^2/4)=(1/r)(1－ax/r^2 +a^2/4r^2)^(－1/2)

r>>a より、a^2/4r^2 を２次の微少量として落とします（つまり０とします）
近似式（1+α)^n≒1+nα　ただし、α<<1 を用いて
(1/r)(1+ax/2r^2)=1/r+ax/2r^3
第２項目も同様に近似して計算します。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。何とか頑張れそうです。
またわからないことがあれば質問するかもです...。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/07/11 14:39

No.7 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/07/10 08:39

以下に書く事が、文字だけの説明で意味不明にならないように、

電磁気学の何処を調べれば出てくるかを書いておきます。
それは、「電機双極子」です。

まず、原点Ｏ（０，０，０）から電位を求める位置（Ｐ点としておきます）まで直線を引きます。
このＯＰの長さが、問題のr です。
で、x軸とＯＰのなす角をθとしておきます。
次に、(a/2,0,0)からＰ点に直線を引きます。これが電位を求めるのに必要な距離です（これをLとしておきます）。
余弦定理から、
L^2=r^2 + (a/2)^2 － 2×r×(a/2)cosθ
同様にして、ーＱからＰ点までの距離L’ は
L’^2=r^2 + (a/2)^2 －2×r×(a/2)cos(π－θ）＝r^2 + (a/2)^2 ＋ 2×r×(a/2)cosθ
ただし、cosθ ＝x/r と表されますので注意して下さい。
あとは、√　をして、LとＬ’の式を作り、電位の式を完成させます。

近似の方法大丈夫ですよね？
イマイチだったら、質問してくださいね。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。位置(x, y, 0) での電位では原点とどのような違いがありますか。申し訳ないですが、近似の方法もお願いして大丈夫ですか？

お礼日時：2020/07/10 20:29

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/10 02:24

>近似せずに計算するのがわからなくなり、

>導き出せませんでした。

導くもなにも、近似しない式は
クーロンの法則そのままです。

この回答へのお礼

理解力がなく、すみません...。
ありがとうございます。頑張ってみます。

お礼日時：2020/07/10 20:25

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/09 07:23

L1、L2に近似を全く使わないのが1の答え。

一次近似を使ったのが2の答で Qax/(4πε0r^3)

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2020/07/09 10:19

No.4 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/07/09 05:29

１番の問題では、近似（テーラー展開）をせずに解答します。

で、２番の問題で近似してQax/4πϵ₀r^3 を答えます。
ですから、Qax/4πϵ₀r^3 を近似すると言うことではないですよ。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2020/07/09 10:19

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/07/08 18:35

電位には「重ね合わせ」ができると言う性質があります。

つまり、複数の電荷が存在するとき、
電荷１つ１つで電位を求め、それを単純に足し合わせたものが、
求めたい点での電位になります。
このとき、電位には正・負の値がありますので、気をつけて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
正の値、負の値に気をつけて頑張っていきます。
助かりました！

お礼日時：2020/07/08 20:06

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/08 17:57

1/L1 - 1/L2≒ax/r^3

なるので、これにQ/(4πε0) 掛ければ電位です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
物理頑張ってみます。

お礼日時：2020/07/08 20:05

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/07/08 15:50

電荷から距離Lの電位は

(1/(4πε0))(1/L)

電荷Qの方の位置(x, y, 0)までの距離=L1 は
L1=√((x-a/2)^2+y^2+z^2)=√(r^2 - ax + a^2/4)≒r(1 - ax/(2r^2))
1/L1≒(1/r)(1+ax/(2r^2))

もうわかりますよね？