電位の求め方を教えてください！

半径aの球がある。この球の球対称な空間電荷密度ρ=ρ0(1-r＾2/a＾2)をもつ。但し、ρ0は定数で、真空の誘電率をε0とする。
このときの電位の求め方を教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/28 08:11

>∞を代入したときに上手く計算できないんです。

r≧aのEの原始関数は

-Q(a)/(4πr)

無限大ではゼロですよ。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/27 08:33

>積分範囲は0~∞でしょうか？

電位差の定義からは
∞→r で積分して (-1)をかける
つまり単位電荷を無限遠からrまで持ってくる
のに必要な(失う)エネルギー(J/C=V)

これは結局 ∫[r→∞]Edr と同じです。

この回答へのお礼

rで積分すれば良いですか？rで積分すると、∞を代入したときに上手く計算できないんです。

お礼日時：2021/12/27 15:02

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/26 13:56

>r>=aのときはV＝Q(a)ですか？

電荷Q(a)の点電荷と同じ電位になるということです。

>r<=aのときの電場の積分の仕方がわからないです。
単なる多項式の積分。一番易しい最初に習う積分です。
頑張りましょう。

この回答へのお礼

無限遠から電場を積分するというのは、積分範囲は0~∞でしょうか？電場の積分はrで積分したら良いのでしょうか？

お礼日時：2021/12/26 21:32

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/26 09:15

rは中心からの距離として

0~rの球の中の電荷は(r<a)
Q(r)=∫[半径rの球]ρdv (dv: 体積素)
=∫[半径rの球]ρ0(1-r'^2/a^2)sinθr'^2dr'dψdθ
=4πρ0∫[0→r](1-r'^2/a^2)r'^2dr'
=4πρ0(r^3/3 - (r^5/a^2)/5)=4πρ0r^3(1/3 - (r/a)^2/5)

Q(a)=4πρ0a^3×(2/15)

従って、ガウスの法則から

E(r)=(ρo/ε0)r(1/3-(r/a)^2/5) (r≦a)
E(r)=(ρ0/ε0)(a^3/r^2)×(2/15) (r≧a)
#r≧aではρ=0を仮定。条件漏れですね(^-^;


後は無限遠から電場を積分して(-1)掛ければ電位。

ガウスの法則から、r≧aでの電場の形は
電荷Q(a)の点電荷と同じなので、電位も
点電荷と同じになる。
だから、r≦aの計算に専念すればいい。

この回答へのお礼

r>=aのときはV＝Q(a)ですか？
r<=aのときの電場の積分の仕方がわからないです。

お礼日時：2021/12/26 13:16