角の5等分はできるか否か。その理由を教えてください。(大至急)

角の5等分はできるか否か。その理由を教えてください。(大至急)

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/25 07:46

「角の5等分はできるか」の意味しだいかなあ。

まず、どういう手段の範囲で「できるか」を考えているのか？
を定めなければ質問に意味がない。
あと、角の5等分ができる例があるか？という意味か、
全ての角の5等分ができるか？という意味か、という問題もある。

「できるか」についてよく言われるのは、ユークリッド幾何の手法で、
つまり定規とコンパスだけを使って作図できるか？という意味
なので、それについて答えてみる。

それが、角の5等分ができる例があるか？という質問であれば、
答えは「ある」。
正五角形が作図可能だから、360°, 180°, 90°, 45° などが
５等分可能だということになる。

全ての角の5等分ができるか？という意味であれば、
答えは「ない」。
ユークリッド作図可能な角θは、cosθ,sinθが整数係数の
代数方程式の解になる。cosθが代数方程式の解にならない数
であれば、作図は不可能である。
整数とcos(5θ)を係数に持つcosθについての５次方程式が
代数的に解けることが、角の5等分ができることの必要条件になる。
それが不可能であることは、ガロア理論の例として有名である。

No.2 回答者： GOMΛFU 回答日時： 2020/08/25 17:56

粉末にしてしまえばグラムで等分できると思います。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/08/29 02:13

道具によってはできてしまうというのは事実で, 例えば定規とコンパスと

アルキメデスの螺旋
を使えば 5等分 (といわず何等分でも) できる.

ちなみに古典的な「定規とコンパスによる作図」では (任意の角の 5等分は) できないが, それは
定規とコンパスでは四則演算と開平しかできないところ, 角の 5等分では「5乗根」をしなければならない (そしてそれは四則演算と開平のみの有限回の操作では不可能)
ということによるのであって, ガロワ理論は無関係. というか, さすがに
ガロワ理論から, 任意の角の 8等分は定規とコンパスのみでは不可能である
っていわれると首を傾げざるをえないしね.