三角形の重心一致の問題です。

三角形の重心の問題ですが、ベクトルや座標設定ではすんなり解けたのですが、中学の幾何のレベルで解けるのではと考えているのですがなかなか解けません。どなたかわかる方がおられましたら御教示頂きたいのですが宜しく御願い致します。

(問題) 三角形ABCの辺AB,BC,CAを同じ比に分ける点を、それぞれP,Q,Rとするとき三角形ABCの重心Gと三角形PQRの重心G’が一致する事を証明せよ。

どうぞ宜しく御願い致します。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/02 09:02

ちょっとやってみましたが、なるほど確かに難しそうです。

「同じ比」と言わず「半分」に限定するんなら、ぐらいですかね。ベクトルの威力だなー。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/02 02:02

いや、普通に...

P = tA + (1-t)B,
Q = tB + (1-t)C,
R = tC + (1-t)A
のとき、
( P + Q + R )/3 = ( {tA + (1-t)B} + {tB + (1-t)C} + {tC + (1-t)A} )/3
　　　　　　= ( A + B + C )/3.
分子の { } を展開して整理するだけだ。