三角形の重心

三角形の重心について質問です！！

一つの三角形の各辺の中点を結ぶと、三角形の中に小さな三角形ができますが、その小さな三角形と外側の三角形の重心は一致しますよね？？
どのように証明すればよいのですか？
相似や合同、平行等の条件を使うのですか？

是非とも教えてください！！！

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/03/21 20:34

#1です。

#2さんの回答でも同じようなことが言われていますね。

まず、次のことを証明しましょう。
「三角形ABCにおいて、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれ D, E, Fとする。
辺ADと辺EFの交点を Lとすると、EL= FL（つまり、Lは辺EFの中点）である。」

辺ADは三角形ABCの中線であり、
上のことが証明できれば辺DLは三角形LMNの中線であることがいえます。


中線連結定理より、BC〃EF
よって、三角形ABD∽三角形AFL、三角形ACD∽三角形AELであり、相似比は 2：1となる。
すなわち、FL= 1/2* BD、EL= 1/2* CD
点Dは辺BCの中点であるから、BD= CD

よって、FL= ELである。


他の 2辺(CAと AB)についても同様に示すことができます。
すると、三角形ABCの中線と三角形DEFの中線が一致することとなり、
その交点である重心も一致することが示されます。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/20 22:30

重心は各辺の中点と頂点を結ぶ３中線の交点が重心になります。

次のサイトのように三角形と中線の交点に符号を付ける。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/jyuusin.htm
△ABCと△DEFは相似形で相似比が2:1で△DEFの３辺は△ABCの３辺に平行になります。３中線AD,BE,CFと△DEFの３辺と交点をそれぞれL,M,Nとすると、L,M,Nが辺EF,DF,DEの中点になることを示せば△ABCの重心Gが△DEFの重心と一致することが示せます。このことは△ABCと△DEFが相似でかつ各辺がそれぞれ平行であること、D,E,Fが△ABCの中点であることから示せます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ΔＤＥＦとΔＡＢＣの３辺が平行で相似ということはよくわかりました。
ただ、最後にＬ、Ｍ、Ｎが各辺の中点になることがなぜ示せるのですか？
Ｄ，Ｅ，ＦがΔＡＢＣの中点であることと何か関係があるのですか？

そのあたりを詳しく教えて頂ければ助かります！！！
よろしくお願いします。

お礼日時：2010/03/21 17:31

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/03/20 22:08

こんばんわ。

証明方法はいくつかあると思いますが、「相似や合同、平行」と書かれているので、そのあたりから。

まず、「重心が一致する」ということは、
「2つの三角形の中線の交点が一致する」ことを示せばよいですね。
これが証明の根本になります。

さて、比較的このことを簡単に示すことができます。
というのは、「中線自体が一致している」ことが示されるからです。
中線連結定理を用いることで示すことができます。

一度、考えてみてください。＾＾

この回答へのお礼

ありがとうございます。
中点連結定理については理解できました。
が、そこからどのようにして重心と重心が一致することを証明すればよいのかがイマイチです・・・。

ぜひ、そこのあたりを教えて頂ければ助かります！
よろしくお願いします。

お礼日時：2010/03/21 17:33