数列について。

5個の数字0、 1、2、3、4を使って次のような数列を作った。
0、 1、2、3、4、10、11、、、
この時(1)2013番目の数は何か？(2)2013は何番目の数か？
ご教授願います。すみません。

No.7 回答者： TAC-TAB 回答日時： 2020/11/16 10:00

No.1です。

答えのみを書きましたが、改めてどのようにして答えを出したのかを説明します。
十進数と五進数の比較の問題ですが、五進数が「1-2-3-4-5」ではなく「0-1-2-3-4」とひねってあるところがミソです。
私は数学の専門家ではないので「公式」は分りませんので、以下の方法で答えを導きました。
十進数は「10」進むごとに繰り上がりますが、五進数は「５」進めば繰り上がります。
そうしますと
十進数の10のキリ番のときに、五進数の値は十進数の値の二倍になります。
繰り上がりの速度が二倍なのでそうなります。ところが、五進数のスタートが「１」ではなく「０」なので、ひとつずれることになります。（これが問題を複雑化している原因です。）
十進数の11（番目）が五進数の20に、十進数の21（番目）が五進数の40になります。
番目 数値
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 10
7 11
8 12
9 13
10 14
11 20
12 21



同じように、十進数の2001番目が五進数の4000になります。
ここから手計算で2013番目まで五進数をたどれば「4022」が正解と分ります。
番目　数値
2000 3994
2001 4000
2002 4001
2003 4002
2004 4003
2005 4004
2006 4010
2007 4011
2008 4012
2009 4013
2010 4014
2011 4020
2012 4021
2013 4022←答え4022

2013の数値は何番目？
十進数の1001（番目）が五進数の2000に一致することを根拠にして手計算すると
番目　　数値
1000 　1994
1001 　2000
1002 　2001
1003 　2002
1004 　2003
1005 　2004
1006　 2010
1007 　2011
1008 　2012
1009 　2013←答え1009番目

となるので、「1009番目」が正解となります。
答え合わせとしてExcelに数式を入れてドラッグして確認したところ
ピタリと会いました。（貼付写真を参照のこと）
Excelをお使いであれば数式を入力してご確認ください。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2020/11/14 15:31

(1) ない。

(2) ない。
「次のような数列」なるものは6個の数を並べただけで終わっているから、(1) 6＜2013である。(2)これら6個の中に2013は見当たらない。

数列の生成規則を示さないで「次のような数列」とか言ってる出題者がダメすぎ。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/14 14:54

(1)数列的に考えるなら

グループわけです
第一のナンバー0、第2のナンバー1,・・・2013番目のナンバーM
を左から順に横一列に並べたところをイメージして
まずは　左からナンバー５こおきに仕切り棒をいれてあげると考えるのです
つまり
0、 1、2、3、4|10、11・・・|・・・~・・・・|・・M
といった具合です

0,1,2,3,4を第一グループ
10,11,12,13,14 を第二グループ
20,21,22,23,24を第三グループ
・・・
とみてあげると
各グループを構成するナンバーの個数はそれぞれ5こです
ゆえに2013÷5=402あまり３
ゆえに　2010番目が第402グループの5こ目のナンバーで
2013番目のナンバーMは　第403グループ3個目と分かります
各グループとも3個目は下一桁が2なので　Mの下1桁は２で確定

次に、先ほどのグループを再編して
先ほどまでの1グループを5個あつめて新たな組を作ることにします
つまり初めに書いた仕切りの左から5個目、10個目、15個目,20個目・・・
を残してそれ以外の仕切りは消すのです

0,1,2~43,44までを第一組
100,101,102~144までを第２組
・・・
400~444までを　第５組
という具合です
するとナンバーを５こ含んでいた402のグループは（403グループはナンバーを3個しか含んでいませんでしたよね）
402÷5=80あまり2から
5x5=25のナンバーを含んだ８０組と(5グーループ1組として80組）
2グループしか含まない81組目とに分かれることがわかります

つまり　仕切りを間引いて
~　395グループ|396グループ、398,399,400|401,402,403
という状態を考えて
400グループと401の間に仕切りが残り　400グループより左はすべて5グループで1組を構成していることが分かるはずです

各仕切り（各組）とも1グループ目は右端から2桁目が０
2グループ目は右端から２桁目が１ですから
403グループのナンバーはいずれも左端から２桁目は2と分かります

このことから　403グループのナンバーMは　下2桁が22が確定です

この要領で　さらに仕切りを5個おきに残して残りは消す
その時の様子から下3桁を確定させる
さらにさらに仕切りを5個おきに残して残りは消す
その時の様子から４桁を確定させる
ということをしていくと
80÷5=16　あまり０なので　Mの3桁目は0が確定
16÷5=3あまり１なので　Mの4桁目は１が確定です
そして、
残った仕切りの左端に含まれるナンバーの上1桁はいずれも０です
左端と2番めの仕切りの間に含まれるナンバーはいずれも上1桁が1です
・・
Mは残った仕切りの4番目に含まれるナンバーなので
上1桁は３です
以上から　M=31022
と導き出されます

(2) 先ほど同様に仕切りの考え方で行くと
その逆算です
1桁のナンバーは０から４までの５こ
2桁のナンバーは 0=00,1=01とみなして
00~44までの5x5個
３桁のナンバーは5³個
４桁のナンバーは5⁴ありますから
仮に〇には0000~0444のナンバー(5³個）が
△には１000~１444のナンバー(5³個）
が含まれるとすると
仕切り2個で
2013は　　
〇|△|・・・半端な2000~2013までのナンバー 　
という状態です
ゆえに簡単な　〇|△|の部分までのナンバーの個数を数えると
2x5³個です！
これは2013の上1桁の２をみて2000は0000から数えて　2x5³番目の次のナンバーということを表していますよ

仕切りと仕切りの間にさらに仕切り4個づつを入れると
0000~0044|0100-0144|0200-0244|0300-0344|0400-0444|
・・・1444|2000,2001・・・2013(2014~2044|・・・・|・・・|)
という状態になりますが　2013までしかないので
さらに仕切り４こづつの追加が必要です()部分は一応続き部分を想定してみたときの結果です
あえてこの状態での式を立てれば　0x5²個　ということになりますが
仮に2413であれば　2000は2x5³個めの次のナンバー
加えて
400は4x5²の次という意味ですから
2400は　2x5³＋4x5²の次のナンバーという意味です
今回は2013なので　2000は2x5³＋0x5²の次ということになりますよ

仕切り再度追加で
1444|2000,2001,2002,2003,2004|2010,2011,2012,2013(2014|・・・・・)
（）部分は続きの想定
このことから　2010は、2000から1x5¹番目
ゆえに　2010は2x5³＋0x5²+1x5¹の次のナンバーという意味です

もう一度仕切りを追加しても考え方は同じですから
2013は2x5³＋0x5²+1x5¹+3x5⁰＝258の次
つまり259番目が導かれます

No.4 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2020/11/14 10:03

0が1番目になっていることに注意しなければなりません。

(1)　2013番目は0の1番目を除いて、1から始まる2012番目になります。
5を5進法で表すと10です。10は5番目でなく6番目の数になっています。
2012÷5=402余り2
402÷5=80余り2
80÷5=16余り0
16÷5=3余り1
2012を5進法で表すと、31022
0を順番に入れた2013番目の数は31022

(2)　5進法で表された2013を10進法で表しますが、答えになる順番は0を1番目にしているので最後に1増やします。
2013(5進数)=2×5^3+0×5^2+1×5^1+3
　　　　　　　　=250+0+5+3
　　　　　　　　=258
2013は0の除いた258番目の数なので、0を順番に入れて259番目

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/14 09:34

(1)の回答訂正。

(1)は、例として5番目の数を考えると、
5÷5=1 余り0
1÷5=0 余り1

余りを下から数えると10になる。
注意点として、問題に示されている10は6番目なので、5番目の数は-1する必要がある。

同様に、

2013÷5=492 余り3
492÷5=98 余り 2
98÷5=24 余り 3
24÷5=4 余り 4
4÷5=0 余り4

余りを下から数えると44323となる。
44323-1=44322となり、これが答え。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/14 09:26

これは数列の問題というより、進法の問題。

5進数と考えると、答えが見えてくる。

(1)は、例として5番目の数を考えると、
5÷5=1 余り0
1÷5=0 余り1

余りを下から数えると10になり、問題に示されている値と一致する。
同様に、

2013÷5=492 余り3
492÷5=98 余り 2
98÷5=24 余り 3
24÷5=4 余り 4
4÷5=0 余り4

余りを下から数えると44323となり、これが答え。

(2)は、5進法を10進法に変換する方法を適用すれば良い
2013を10進数に変換すると、

2×5^3 + 0×5^2 + 1×5^1 + 3×5^0
=250+0+5+3
=258

注意点として、0が1番目なので、番目（序数）の場合は+1する必要がある。
よって、2013は259番目が答え。

No.1 回答者： TAC-TAB 回答日時： 2020/11/14 09:08

≫この時(1)2013番目の数は何か？

4022です。
(2)2013は何番目の数か？
1009番目です。

間違っていたらすみません。