数学の積分の問題なのですが、∫［-T/2→T/2］cos 2π mt/T cos2πnt/T dt

数学の積分の問題なのですが、∫［-T/2→T/2］cos 2π mt/T cos2πnt/T dt (mとnは異なる整数)という式の解き方が分かりません。どのようにして解くのでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/28 00:09

・積和公式

・指数関数
どちらか好きな方法で (本質は同じだけど).

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/28 01:54

積和公式が簡単じゃない？

cos(2πmt/T)cos(2πnt/T)
　= (1/2){ cos(2πmt/T + 2πnt/T) + cos(2πmt/T - 2πnt/T) }
　= (1/2){ cos(2π(m+n)t/T) + cos(2π(m-n)t/T) }
より、
I = ∫［-T/2→T/2］ cos(2πmt/T)cos(2πnt/T) dt
　= (1/2){ ∫［-T/2→T/2］ cos(2π(m+n)t/T) dt + ∫［-T/2→T/2］ cos(2π(m-n)t/T) dt }.

k ≠ 0 のとき
∫［-T/2→T/2］ cos(2πkt/T) dt
　= [　(T/(2πk)) sin(2πkt/T)　]_{t=-T/2→T/2}
　= 0 - 0
　= 0,
k = 0 のとき
∫［-T/2→T/2］ cos(2πkt/T) dt
　= ∫［-T/2→T/2］ 1 dt
　= T/2 - (-T/2)
　= T.

上記を組み合わせると、
m ≠ -n かつ m ≠ n のとき
　I = (1/2){ 0 + 0 } = 0,
m = -n かつ m ≠ n のとき(すなわち m = -n ≠ 0 のとき)
　I = (1/2){ T + 0 } = T/2,
m ≠ -n かつ m = n のとき(すなわち m = n ≠ 0 のとき)
　I = (1/2){ 0 + T } = T/2,
m = -n かつ m = n のとき(すなわち m = n = 0 のとき)
　I = (1/2){ T + T } = T.