y'+αy=exp(βx)の一般解の求め方を教えてください。 (α.β:定数) 左辺=0の同次方程式

y'+αy=exp(βx)の一般解の求め方を教えてください。
(α.β:定数)

左辺=0の同次方程式の解がy=cexp(-ax)まで解けたのですが、その後うまくいきません。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 答えです

  
    補足日時：2021/07/20 18:40

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/20 19:52

y'+αy=e^(βx)…①

y=ze^(-αx)…②
として①に代入
z'e^(-αx)-αze^(-αx)+αze^(-αx)=e^(βx)
z'e^(-αx)=e^(βx)
z'=e^(βx+αx)

β+α≠0の時
z={1/(β+α)}e^(βx+αx)+C
↓これを②に代入
y=[{1/(β+α)}e^(βx+αx)+C]e^(-αx)
∴
y={1/(β+α)}e^(βx)+Ce^(-αx)

β+α=0の時
z'=1
z=x+C
↓これを②に代入
y=(x+C)e^(-αx)

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2021/07/20 22:00

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/20 21:23

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12469919.html
ああ、そうか。 α+β = 0 のときが未解決だったか。

場合分けして、その場合は
最初の式が y’ + αy = exp(-αx) となって、
y’ exp(αx) + y αexp(αx) = 1 と変形できます。
両辺を x で積分して、左辺は積の微分法則から
y exp(αx) = x + C　{ Cは定数 }.
よって、 y = (x + C) exp(-αx) です。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2021/07/20 22:00