y'+αy=exp(βx)の一般解の求め方を教えてください。 (α.β:定数) 左辺=0の同次方程式

y'+αy=exp(βx)の一般解の求め方を教えてください。
(α.β:定数)

左辺=0の同次方程式の解がy=cexp(-ax)まで解けたのですが、その後うまくいきません。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• すみません。なぜか2つの質問が作られてしまっていました。

    補足日時：2021/07/20 22:00

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/20 19:53

y'+αy=e^(βx)…①

y=ze^(-αx)…②
として①に代入
z'e^(-αx)-αze^(-αx)+αze^(-αx)=e^(βx)
z'e^(-αx)=e^(βx)
z'=e^(βx+αx)

β+α≠0の時
z={1/(β+α)}e^(βx+αx)+C
↓これを②に代入
y=[{1/(β+α)}e^(βx+αx)+C]e^(-αx)
∴
y={1/(β+α)}e^(βx)+Ce^(-αx)

β+α=0の時
z'=1
z=x+C
↓これを②に代入
y=(x+C)e^(-αx)

この回答へのお礼

ありがとうございました！大変わかりました。

お礼日時：2021/07/20 21:59

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/20 21:18

非同次線型微分方程式の一般解は、

その方程式のひとつの特殊解と
同次化線型微分方程式の一般解の和です。

同次化線型微分方程式の一般解が
y = C exp(-αx) であることまでは見つけたのですね。
あとは、特殊解をひとつ見つけるだけです。

y’ + αy = exp(βx) という式形を見れば、
y = A exp(βx)　{ Aは定数 } という形の解がありそうだな
と見当をつけられるのが自然です。
それができないようなら、直感力が常識未満で、
もっと経験を積む必要があります。

y’ + αy = exp(βx) に
y = A exp(βx) を代入すると、式を整理して
Aβ + αA = 1 になって、
A = 1/(α+β) が解を与えることが判ります。

以上をまとめて、問題の式の一般解は
y = C exp(-αx) + exp(βx)/(α+β)　{ Cは任意定数 } です。

...って、あれ？
写真の答案に既にそのようなことが書いてあるけど。
自己解決したのではないですか？

この回答へのお礼

考え方がわかりすっきりしました。ありがとうございました！

お礼日時：2021/07/20 21:59