停留点の座標に複素数が入る場合

2変数関数f（x、y）=x^3-3x（1+y^2）について、極値をもたないことを示せ。
という問題で、途中計算など省略しますが、停留点は（1,0）,（-1,0）,（0,i）
が出ました。
（（0,i）を停留点と呼んでいいのかわかりませんが）
それで、（1,0）,（-1,0）についてはヘシアンの値がマイナスになるので極値で
ないことは明らか。（0,i）ではヘシアンは4>0ですが、このときf（x、y）をxで
二回微分した値が0であるため、（0,i）は極値にならないといったように示せばよいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/04/21 22:36

＞（（0,i）を停留点と呼んでいいのかわかりませんが）

実数関数に対して、
∂f/∂x=∂f/∂y=0を満たす実数解
の全ての点を停留点という。

複素数の停留点？は定義に含まれません。
実数解の（1,0）,（-1,0）だけが停留点なのだ。
分かった？

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/04/21 20:59

これは

y=x^2+x+1とy=0の交点を求めよう意図したら
((-1+\sqrt{3}i)/2,0)と((-1-\sqrt{3}i)/2,0)に
なりましたが，これは交点なのでしょうか
といってるのにも等しいような・・・・
そもそも実数関数で
定義域が実数の範囲で考えてるんだから・・・・

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/21 15:05

そもそも、x,y の変域を複素数とすると、

f の値域も複素数となって、
極大とか極小とかが定義できなくなるのでは？

この回答へのお礼

そうですね。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2009/04/22 17:01