No.1
- 回答日時:
関数f(x)が[a,b]で連続で(a,b)で微分可能であれば
(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)となる点c(ただしa<c<b)がある
というのが平均値の定理であり
式を変形すると
f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)
となってf(b)の近似値がf(a)で与えられ誤差はf'(c)(b-a)と評価されるということが分かります。
何か難しいいところはありますか?
この回答への補足
>f(b)の近似値がf(a)で与えられ誤差はf'(c)(b-a)と評価される
↑これはなぜですか?
平均値の定理自体やそれを使った近似値の求め方はわかります。
私が言いたかったのは
なぜ”平均値”を求めるための定理で
”近似値”を求めることができるのかということです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
至る所連続で滑らかな関数fの方程式
f(x) = 0
を数値的に解く話じゃないでしょうかね。
ひとつの実数解が欲しくて、解の近似値x[0]なら分かっている場合に、Newton法
x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])
を使って近似値を改良して行ける。解の近くまで来ると、繰り返しのたびに近似解の有効桁数が倍になる、というものすごく速い収束の仕方をします。ただし「x[0]がどういう範囲にあれば収束するか」という収束条件は、f ごとにいろいろである。
なお、解が無理数かどうか、なんてことは関係ありません。もちろん、たまたま
f(x) = x^2 - 3
とかなら、解は無理数になりますがね。
で、この話は平均値の定理と直接の関係はない。
一方、解の二つの近似値a[0], b[0]が分かっていて、しかもf(a[0])f(b[0])<0である場合、secant法
c = (f(a[n])b[n] - f(b[n])a[n] )/ (f(a[n]) - f(b[n]) )
a[n+1] = f(c)がf(a[n])と同符号なら c, さもなくば a[n]
b[n+1] = f(c)がf(b[n])と同符号なら c, さもなくば b[n]
を使って近似値を改良する(解が存在する範囲を狭めて行く)、という方法もある。
こちらは(平均値の定理じゃなく)中間値の定理と直接の関係があり、確実に収束する。
あー、それから、平均値の定理は「平均値を求めるための定理」なんかじゃありません。
(一度投稿した質問が修正できないというのは厄介ですね ^ ^ ;)
今の自分にはわからないということがわかったのでよかったです。
ありがとうございました。
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