連立二次不等式についての問題

Ｘについての２つの２次不等式
Ｘ＾２－２Ｘ－８＜０,　Ｘ＾２＋（a-３）Ｘ－３a≧０
を同時に満たす整数がただ一つ存在するように定数aの値の範囲を求めよ

以上分かりやす解説をよろしくお願いします
できるだけ早くお願いいたします

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/09/07 09:56

質問者が高1なら数直線で考えるしかないが、高2以上なら座標を使うと簡単だし、視覚的にもミスを防げる。

条件式から　x＾2-2x-8＝（x＋2）*（x-4）＜0　‥‥(1)
又、a＝yとするとx＾2＋（a-3）*x－3a＝（x-3）*（x+a）≧0　→　（x-3）*（x+y）≧0‥‥(2).
(2)はx-3≧0、x+y≧0、or、x-3≦0、x+y≦0　‥‥(3)　となる。
(1)と(3)をxy平面上に図示して、a＝y（x軸に平行な直線）を上下に動かしてみると、題意を満たすaの値の範囲は。。。。。すぐ分るだろう。

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/09/06 23:17

定係数の方の不等式の整数解が有限個だから、

そちらを先に解いて、
解 x を、a を含む方の方程式に代入すれば、
a についての連立一次方程式になる。
共通解 x が一個になるような各代入について、
対応する a の範囲を求めて
合併すればよい。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/09/06 22:55

x^2-2x-8＜0 …(1)式

x^2+(a-3)x-3a≧0 …(2)式
とおきます。
まず、連立させるためにはそれぞれの方程式を解くことからです。
いまの問題では、両方の式とも因数分解できます。

(1)式からはaを含まないxの不等式が得られます。
(2)式からも解が得られますが、aの値によって(もう一つの解との大小関係によって)解の形が変わります。

数直線上に、それぞれの解を書いて考えてみてください。