プロが教えるわが家の防犯対策術!

dy/dx = 2xの微分方程式を解くと
1/y dy = 2x dx
log|y| = x^2 + c
|y| = e^(2+c)
y = ±e^(2+c)
となると思うのですが、±ではなく+だけではないのかといわれたのですがその理由がわからないのですがどうなのでしょうか?
もしよろしければよろしくお願いします。

A 回答 (5件)

#1です。


#4さんの回答のように±が付きますね。

1/y dy = 2x dx
y>0のとき
log y = x^2 + c
y= e^(x^2+c)=C e^(x^2) ---(1)
ここで, C=e^c>0
y→+0で log y→-∞ このとき x^2 + c≧c(定数) →-∞ とはなりえない。
ということは y→+0とはなりえないということ。---(1')

y<0のとき
z=-y>0とおくと
1/y dy = 1/(-z) d(-z)=1/z dz
=2x dx
から
log z = x^2 + c
z=e^(x^2 + c)=C e^(x^2)
=-y
y=-e^(x^2 + c)=-C e^(x^2)---(2)

y→-0で z→+0,log z→-∞ このとき 
x^2 + c≧c(定数) →-∞ とはなりえない。
ということは y→-0とはなりえないということ。---(2')

y>0,y<0をまとめて
y=±e^(x^2 + c)=±C e^(x^2) ---(3)
(1'),(2')から
y=0の近傍の解は存在しない。
これは(3)で仮にy=0とおいた時 xは存在しない。
つまり、(3)で特にyの制限をつけなくても
実数x,yに対して(3)を解としても良いということ
ですね。
    • good
    • 0

±は必要です。



普通微分方程式を解け、と言われたら、すべての初期値に対する解を求めなくてはなりません。
今の場合、y=e^(x^2+c)という解だけだと、y(0)<0という初期値は取れませんね。
また、y(0)のときの解は、y(t)=0ですね。

したがって、解は、
y(t)=e^(x^2+c), ( y(0)>0のとき )
y(t)=0, ( y(0)=0のとき )
y(t)=-e^(x^2+c), ( y(0)<0のとき )
となります。
しかし、よく考えると、
y(t) = y(0)e^(x^2)
とかけることに気づきます。これはすべての初期値に対して成り立つので、これが上の方程式の解なのです。
    • good
    • 0

y = ±e^(x^2+c)



= ±e^(x^2) × e^c
= ±e^c × e^(x^2)
= C × e^(x^2)

とするとプラスマイナスはなくなるのではないですか?
    • good
    • 0

変数yは正であるとは限りません。



y<0の場合とy=>0の場合を分けて考えればおのずと答えは出てくると思います。
    • good
    • 0

dy/dx=2x  ... (1)


dy=2x dx
y=x^2 +c
となるはずですが
(1)から
1/y dy=2x dx
が出てくるのですか?

それとも (1)の問題の入力ミスですか?

この回答への補足

すみません、問題はdy/dx = 2xyで,yが抜けていました。

補足日時:2005/05/19 08:48
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!