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No.5ベストアンサー
- 回答日時:
素直な練習問題だと思います。
方程式の係数行列の行列式をDとし、解の集合をXとすると、● D≠0の場合にはフツーにひとつの解があるわけで、
b≠0ならXは1個の解から成る集合。ただしその解が(0,0,0,0)でないことは確か。
b=0のときは、X={(0,0,0,0)}
● D=0の場合
b≠0のときは、X=φ (φは空集合のこと)。つまり解がない。
b=0 のとき、解は無限個ある。u,v,wを互いに一次独立の0でないベクトル、r,s,tを任意の実数とするとき、Xが4次元実ベクトル空間中の
1次元超平面つまり直線 {ru} になるか、
2次元超平面 {ru+sv} になるか、
3次元超平面 {ru+sv+tw} になるか、
それとも全空間になるか、
その区別は係数行列のrankで決まる。
と、ここまでは問題を一瞥しただけで分かります。
なので、
> (1) a = b = 1のときに解は存在するか。存在すれば、その解を求めよ。
できればa = b = 1を先に代入しないでa,bのまんま解くと、以下の問いも具体的に捉えられて分かりやすいんじゃないかな。解の分母はDに比例するから、D=0となる条件(aが幾らのときであるか)が分かる。
> (2) 解がx1 = x2 = x3 = x4 = 0 のみとなるaとbの条件を求めよ。
D≠0, b=0のとき。
> (3) 解を持たないときのaとbの条件を求めよ。
D=0, b≠0のとき。
> (4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。
D=b=0のとき。
> (5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ。
これは「部分空間」の定義を知らないとどうにもならない。実ベクトル空間の部分空間ってのは、実ベクトル空間Vの部分集合Wであって、任意のu,v∈Wと任意の実数kについて、u+vもkuもWの要素になってるWを言う。
ってことは、解の集合Xが部分空間になるのは
D=b=0のときだけじゃなくて、
D≠0,b=0のとき(X={(0,0,0,0)})もそうだし、それから、
D=0,b≠0のとき(Xは空集合)も。確かに定義を満たしているでしょ。
しかしD≠0, b≠0の場合には、Xは空集合ではなく、しかも(0,0,0,0)を含まないから、Xは部分空間になっていない。
なるほど。
非常に分かりやすかったです。
ありがとうございました!
rankがどうのこうのっていうより行列式が0かどうか
っていうほうが分かりやすくていいですね。
まあ言っていることは同じなんでしょうけど。
No.7
- 回答日時:
>(全然勘定せずに書き込んでます。
あとはよろしく)ヒマになり、童心にかえって消去法を試みました。
途中を省くと、
{a/(a-1)}*x1 = b
a=0 なら b=0 で x1 は不定。
x2 = {(4-3a)/(a-1)}*x1
x3 = x1
x4 = 3*x1 +x2
どうやら部分空間解は、
| 1 |
| -4 |
| 1 | * x1
| -1 |
らしい。
…ということは、スタート・ポイントにもどってしまった、ということなのでしょうか?
No.6
- 回答日時:
>.......
>a = 0 かつ b = 0のときが答えになると思うのですが、
>これだと(5)の答えとかぶってしまうんじゃないかと。
当方も、最初そう思いこんでました。
a = 0 かつ b ≠ 0 を見逃してたのです。
(4) にてこのアファイン空間解を出し、b = 0 で部分空間、という筋書きなのでは?
(全然勘定せずに書き込んでます。あとはよろしく)
No.4
- 回答日時:
>(4)はどうなるんでしょうか?
(4) の答案には、「部分空間(b=0)」と「アファイン空間(b≠0)」の両方があるのですか?
それとも?
(4)を解くときに
a = 0 かつ b = 0のとき
係数行列と拡大係数行列の階数が3で等しくなり、解が無限個存在する
としていて、
a ≠ 0 かつ b = 0
a ≠ 0 かつ b ≠ 0
のときは階数が4で等しくなると思うのですが、
こちらは階数が4で等しくなるため解は1つしか存在しないので
a = 0 かつ b = 0のときが答えになると思うのですが、
これだと(5)の答えとかぶってしまうんじゃないかと。
よくわからなくなってきました・・・
No.3
- 回答日時:
>.......
>(4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。
>(5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ
あ、問題を誤解してました。
問題はおかしくありません。
・ b≠0 だと、解集合が部分空間にならない。(部分空間に随伴したアファイン空間になる)
…ので b = 0 として、係数行列の階数(rank)が 3 以下になるよう a を決めるのでしょうね。
この回答への補足
あれっ?
それが解が無限個ある状態だと思ってました・・・
それが(5)の答えだとすると(4)はどうなるんでしょうか?
何度も申し訳ないです。
No.2
- 回答日時:
「係数行列と拡大係数行列のrankが等しければ解が存在する」わけですが、その解は部分空間じゃなくて、ワンポイントですね。
「この問題の前の小問で解が無限個存在するときのa,bの条件はすでに求めて」あれば、その解が部分空間になっているのでは?
…それにしては、問題の構成がおかしいような気もします。
はて、原題は?
この回答への補足
aとbを実定数とし、x1,x2,x3,x4を未知数とする連立1次方程式
x1 - x3 = 0
8x1 + x2 - 5x3 - x4 = 0
x2 + 4x3 - ax4 = 0
x1 - x2 - 3x3 + 2x4 = b
に関して以下の(1)~(5)に答えよ。
(1) a = b = 1のときに解は存在するか。存在すれば、その解を求めよ。
(2) 解がx1 = x2 = x3 = x4 = 0 のみとなるaとbの条件を求めよ。
(3) 解を持たないときのaとbの条件を求めよ。
(4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。
(5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ。
これが原題ですね。
問題がおかしいんでしょうか?
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