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「x^2+ax+a=0 が異なる二つの実数解を持ち、その絶対値がいずれも1未満のとき、実数aの範囲を求めよ」という問題があり、私は
二つの解の絶対値がいずれも1未満より、この方程式の解α、βについて
-1<α<1 -1<β<1がいえる
これと、解と係数の関係より
α+β=-a  かつ  αβ=a つまり
-2<a<2 かつ -1<a<1、つまり-1<a<1である・・・(1)

ここで、与えられた方程式は、二つの異なる実数解を持つので判別式をDとすると
D=a^2-4a であるから
a^2 - 4a >0 つまり
0>a a>4 である…(2)

(1),(2)を同時に満たすaの範囲は-1<a<0

と、といたのですが、解答書では、f(x)=x^2+ax+aと置いて題意を満たすグラフを書いて
そうなるための条件を満たすaを求めると言う解放で
-0.5<a<0 となっていました

解答書の解法は理解できるのですが、私の解法で、不備な点はどこでしょうか?
教えてください!

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A 回答 (5件)

>-2<a<2 は良いが、-1<α<1 -1<β<1 の条件から、1-<a=αβ<1 となるところが間違い。



この解法でやるなら。。。。。

-1<α<1 -1<β<1 → α-1<0 β-1<0、α+1>0 β+1>0 。
和と積を計算すると、-2<α+β<2 (α-1)*(β-1)>0 (α+1)*(β+1)>0 としなければならない。
その上で、α+β=-a αβ=a を使うだけ。
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>私の解法で、不備な点はどこでしょうか?


>α+β=-a  かつ  αβ=a つまり-2<a<2 かつ -1<a<1、つまり-1<a<1である・・・(1)

つまり-2<a<2 かつ -1<a<1、のここが駄目。
-2<a<2 は良いが、-1<α<1 -1<β<1 の条件から、1-<a=αβ<1 となるところが間違い。

xの条件が“挟まれる値の範囲”の時は、解と係数を使わない方が(使っても解けるが)良い。
xの値を具体的に求める解法は最悪なのでやめたら良い、回答者も。。。。w

(解法-1)

f(x)=x^2+ax+a=0において、判別式>0、f(1)>0、f(-1)>0、|軸の位置|<1 として解く。


(解法-2)

x^2=-a(x+1)と変形して、放物線:y=x^2 のグラフと、直線:y=-a(x+1)が|x|<1で異なる2点で交わる直線の傾き=-aの条件を求める。
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(1)の -1<a<1 は必要条件であって十分条件ではありません。


(2)の 0>a, a>4 は 二つの異なる実数解を持つための条件です。

この(1)と(2)だけでは、-1<α<1 , -1<β<1 が成立するとは言えません。

-1<α<1 , -1<β<1 であるためには、
-1<-a±√(a^2-4a)<1
が成立する必要があります。
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>私の解法で、不備な点はどこでしょうか?



「逆に~」が足りない。
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この解法ってさ、必要条件の範囲を絞ってから、絞った範囲の中から答えを吟味して、検算ってタイプだよね?



α = 1.2
β = -0.3
のとき

-1 < α + β = 0.9 < 1
-1 < αβ = -0.36 < 1

絞れてない

#うぅ、うまく回答かけてないけど許して。
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Q【高校】2次方程式の実数解の条件

「2次方程式mx~-x-2=0(~は2乗にしました)の2つの実数解が以下のようになるためのmの条件を求めよ。
(1)2つの解がともに -1より大きい。
(2)1つの解は1より大きく、ほかの解は1より小さい
(3)2つの解の絶対値がともに1より小さい。」

という問題なのですが、答えを導き出すための方針だけで構わないので教えていただきたいのですが…


<自分なりに考えた方針>
(1)f(x)=mx~-x-2 とおいて、平方完成し、その後、軸の方程式が-1より大きいという条件と判別式の条件と、f(-1)>0という条件からmを出す。(3つの条件からmをだすのが自分ではわかりませんでした。)

(2)f(1)<0という条件から出す。(これはmが出ました)

(3)見当がつきません。

以上の自分の考えがあっているかどうかでもいいので教えてください

Aベストアンサー

(1)これは機械的に数式でやった方が楽でしょう。

まず。判別式≧0
2実数解をα、βとおく。
α>-1、β>-1ということなので、これは、
α+1>0、β+1>0と同値。

これは、
(α+1)+(β+1)>0
(α+1)(β+1)>0
と同値なので、上の2つの不等式のα+β、αβを解と係数の関係からmの式に直して、不等号を解く。

もしグラフでやるとすると、
 (i)m>0のとき
 ・判別式≧0
 ・軸>-1
 ・f(-1)>0
 (ii)m<0のとき
 ・判別式≧0
 ・軸>-1
 ・f(-1)<0

(2)これはグラフの方が楽でしょう。
 (i)m>0のときf(1)<0
 (ii)m<0のときf(1)>0

(3)これもグラフの方が楽かな
 (i)m>0のとき
  ・判別式≧0
  ・-1<軸<1
  ・f(-1)>0、f(1)>0
 (ii)m<0のとき
  ・判別式≧0
  ・-1<軸<1
  ・f(-1)<0、f(1)<0


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