全部で20問で1問5点の４択試験があります。７５点以上が合格です。 適当に選択して合格する確率を教え

全部で20問で1問5点の４択試験があります。７５点以上が合格です。
適当に選択して合格する確率を教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： housyasei-usagi 回答日時： 2021/07/26 00:26

全問正解は1通り

1問不正解は20問中1問なので20C1=20。間違いは3通りだから20×3=60

2問不正解は20問中2問なので20C2=190。間違いは3×3 =3^2通りだから190×9=1710

以下
20C3×3^3=30780
20C4×3^4=392245
20C5×3^5=3767472

合計4192468
全事象4^20で割れば、0.000003813…

でいかが？

この回答へのお礼

自分でも計算方法がなんとなく理解できそうなスッキリした方法ですね。

４択の検定試験を受けるので、適当に解いたらどのくらいの確率で合格するのかと思って質問しました。
なんだか、
回答するにはその検定試験よりも難しい内容なのでびっくりです。
自分で解こうとした方法は
問題が１問の時は１／４＝６４／２５６
　　　２　　　　１／１６＝１６／２５６
　　　３　　　　１／６４＝４／２５６
　　　４　　　　７／２５６　（たぶん７だと思う）
　　　５
とコツコツやろうとしたけれど、４問の時で頭がオーバーヒート！
でも、ここで不思議なのが２問の時のが３問の時より確率が高い事です。
このことは合格点で確率が変わる？様な気がします。
そうすると横軸に問題数、縦軸に点数のグラフをとっていけば視覚的に見えてくるのかと思いました。
なので、今回は分布の図を作るkamiyasiroさんの分布という言葉に惹かれました。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 10:35

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/26 20:26

あ、なんかまだ締め切られてないみたいだから、

間違いを訂正しておこうかな。
5/4 を 3/4 に修正して...

p = (20C0)((3/4)^0)((1/4)^20)
　　+ (20C1)((3/4)^1)((1/4)^19)
　　+ (20C2)((3/4)^2)((1/4)^18)
　　+ (20C3)((3/4)^3)((1/4)^17)
　　+ (20C4)((3/4)^4)((1/4)^16)
　　+ (20C5)((3/4)^5)((1/4)^15)
　= { (1)3^0
　　+ (20/1)3^1
　　+ (20×19/(2×1))3^2
　　+ (20×19×18/(3×2×1))3^3
　　+ (20×19×18×17/(4×3×2×1))3^４
　　+ (20×19×18×17×16/(5×4×3×2×1))3^5 } /4^20
　= { 1
　　+ 20×3
　　+ (10×19)3×3
　　+ (20×19×3)3×3×3
　　+ (5×19×3×17)3×3×3×3
　　+ (4×19×3×17×4)3×3×3×3×3 } /2^40
　= { 1 + 60 + 19×9×( 2 + 5×4×9 + 17×27×( 5 + 3×16 ) ) } /2^40
　= { 1 + 60 + 19×9×( 2 + 5×4×9 + 17×27×53 ) } /2^40
　= { 1 + 60 + 171×( 2 + 180 + 24327 ) } /2^40
　= { 1 + 60 + 171×24509 } /2^40
　= 4191100/(1024)^4
　≒ 4092.87… /(1024)^3
　≒ 3.99694… /(1024)^2
　≒ 0.00390327… /1024
　≒ 0.00000381178…

約 0.00038 % かな。

この回答へのお礼

わざわざ訂正して、回答をしていただきありがとうございます。
４択の検定試験を受けるので、適当に解いたらどのくらいの確率で合格するのかと思って質問しました。
なんだか、
回答するにはその検定試験よりも難しい内容なのでびっくりです。
自分で解こうとした方法は
問題が１問の時は１／４＝６４／２５６
　　　２　　　　１／１６＝１６／２５６
　　　３　　　　１／６４＝４／２５６
　　　４　　　　７／２５６　（たぶん７だと思う）
　　　５
とコツコツやろうとしたけれど、４問の時で頭がオーバーヒート！
でも、ここで不思議なのが２問の時のが３問の時より確率が高い事です。
このことは合格点で確率が変わる？様な気がします。
そうすると横軸に問題数、縦軸に点数のグラフをとっていけば視覚的に見えてくるのかと思いました。
なので、今回は分布の図を作るkamiyasiroさんの分布という言葉に惹かれました。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 10:24

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/26 01:56

あ、No.4 ぜんぜん違うじゃん 3/4 が 5/4 になってた。

やりなおす気力なし。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/25 23:53

全て適当な選択肢を答えれば、満点で合格なんですが...

ま、冗談はさておき、

間違いが５問以下ならいいんですよね。
知識なしで1問正解する確率が 1/4 として、各問の正誤が独立であれば、
合格する確率は、 p = (20C0)((5/4)^0)((1/4)^20)
　　　　　　　　　+ (20C1)((5/4)^1)((1/4)^19)
　　　　　　　　　+ (20C2)((5/4)^2)((1/4)^18)
　　　　　　　　　+ (20C3)((5/4)^3)((1/4)^17)
　　　　　　　　　+ (20C4)((5/4)^4)((1/4)^16)
　　　　　　　　　+ (20C5)((5/4)^5)((1/4)^15)
　　　　　　　　= { (1)
　　　　　　　　　+ (20/1)5
　　　　　　　　　+ (20×19/(2×1))5^2
　　　　　　　　　+ (20×19×18/(3×2×1))5^3
　　　　　　　　　+ (20×19×18×17/(4×3×2×1))5^４
　　　　　　　　　+ (20×19×18×17×16/(5×4×3×2×1))5^5 } /4^20
　　　　　　　　= { (1)(5×4×3×2×1)
　　　　　　　　　+ (20)(5×4×3×2)5
　　　　　　　　　+ (20×19)(5×4×3)5^2
　　　　　　　　　+ (20×19×18)(5×4)5^3
　　　　　　　　　+ (20×19×18×17)(5)5^４
　　　　　　　　　+ (20×19×18×17×16)5^5 } /((5×4×3×2×1)2^40)
　　　　　　　　= { １
　　　　　　　　　+ (5×4)5
　　　　　　　　　+ (19)(5×2)5^2
　　　　　　　　　+ (19×3)(5×4)5^3
　　　　　　　　　+ (19×3×17)(5)5^４
　　　　　　　　　+ (19×3×17×16)5^5 } /2^40
= { １ + 5×4×5 + (19×5)((2×5^2)(1 + (3×2)5) + (3×17)(1 + 16)5^４)) } /2^40
= { １ + 100 + 95(50×31 + (５1×17)5^４) } /(2^10)^4
= { １ + 100 + 95(1550 + 541875) } /(1024)^4
= { １ + 100 + 95×543425 } /(1024^2)^2
= { １ + 100 + 51625375 } /1048576^2
= 51625476 /1099511627776
= 0.00004695…
≒ 0.047%　くらいか。

途中、泣きそうにはなるけれど、やってやれない計算じゃあない。

この回答へのお礼

４択の検定試験を受けるので、適当に解いたらどのくらいの確率で合格するのかと思って質問しました。
なんだか、
回答するにはその検定試験よりも難しい内容なのでびっくりです。
自分で解こうとした方法は
問題が１問の時は１／４＝６４／２５６
　　　２　　　　１／１６＝１６／２５６
　　　３　　　　１／６４＝４／２５６
　　　４　　　　７／２５６　（たぶん７だと思う）
　　　５
とコツコツやろうとしたけれど、４問の時で頭がオーバーヒート！
でも、ここで不思議なのが２問の時のが３問の時より確率が高い事です。
このことは合格点で確率が変わる？様な気がします。
そうすると横軸に問題数、縦軸に点数のグラフをとっていけば視覚的に見えてくるのかと思いました。
なので、今回は分布の図を作るkamiyasiroさんの分布という言葉に惹かれました。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 10:36

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/25 21:43

#1です。

念のため、途中の計算結果というか正解数毎の確率値を掲載しておきます。
筆算では当然無理、普通の電卓でも無理でしょうね。
ポアソン分布で近似したところで、計算機上の桁落ちを防ぐだけで、普通の電卓では無理です。階乗の計算とexpの計算が必要ですから。
エクセルでやるような問題でしょうかね。

> choose(20,15)*p^15*(1-p)^5
[1] 3.426496e-06
> choose(20,16)*p^16*(1-p)^4
[1] 3.569266e-07
> choose(20,17)*p^17*(1-p)^3
[1] 2.799425e-08
> choose(20,18)*p^18*(1-p)^2
[1] 1.555236e-09
> choose(20,19)*p^19*(1-p)^1
[1] 5.456968e-11
> choose(20,20)*p^20*(1-p)^0
[1] 9.094947e-13

この回答へのお礼

４択の検定試験を受けるので、適当に解いたらどのくらいの確率で合格するのかと思って質問しました。
なんだか、
回答するにはその検定試験よりも難しい内容なのでびっくりです。
自分で解こうとした方法は
問題が１問の時は１／４＝６４／２５６
　　　２　　　　１／１６＝１６／２５６
　　　３　　　　１／６４＝４／２５６
　　　４　　　　７／２５６　（たぶん７だと思う）
　　　５
とコツコツやろうとしたけれど、４問の時で頭がオーバーヒート！
でも、ここで不思議なのが２問の時のが３問の時より確率が高い事です。
このことは合格点で確率が変わる？様な気がします。
そうすると横軸に問題数、縦軸に点数のグラフをとっていけば視覚的に見えてくるのかと思いました。
なので、今回は分布の図を作るkamiyasiroさんの分布という言葉に惹かれました。
アポソン分布を調べて見ます。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/27 10:43

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/25 21:30

#1です。

20問正解のところの式が間違っていました。すみません。
訂正版です。

15問正解：choose(20,15)*p^15*(1-p)^5
16問正解：choose(20,16)*p^16*(1-p)^4
17問正解：choose(20,17)*p^17*(1-p)^3
18問正解：choose(20,18)*p^18*(1-p)^2
19問正解：choose(20,19)*p^19*(1-p)^1
20問正解：choose(20,20)*p^20*(1-p)^0

これらを加えると、
P＝3.813027e-06

最終結果も微妙に違いました。

検算はご自分でお願いします。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/25 21:25

企業で統計を推進する立場の者です。

２項分布の問題ですが、試行数20が大きいというか微妙な値です。試行数が多い場合はポアソン分布で近似するのですが、学校で学びましたか？

考え方としては、15問正解、16問正解・・・20問正解の確率を求めて足せば良いです。正攻法で二項分布でやってみます。かなり桁が落ちますので計算機でやりました。

p=1/4

15問正解：choose(20,15)*p^15*(1-p)^5
16問正解：choose(20,16)*p^16*(1-p)^4
17問正解：choose(20,17)*p^17*(1-p)^3
18問正解：choose(20,18)*p^18*(1-p)^2
19問正解：choose(20,19)*p^19*(1-p)^1
20問正解：choose(20,10)*p^20*(1-p)^0

これらを加えると、
P＝3.981061e-06

検算はご自分でお願いします。