No.4ベストアンサー
- 回答日時:
sin w = 0 の解を考えれば判るように、
1/sin(1/z) の特異点は z = 1/(2πn) + 0i {nは整数} である。
特異点がみな |z| ≦ 1/(2π) の範囲に存在しているから、
収束円環が 1/(2π) < z < +∞ であるようなローラン展開が在ってもおかしくない。
1/sin w を w についてローラン展開してみる。
w = 0 は 1/sin w の 1位の極だから、
w/sin w をマクローリン展開して w/sin w = 1 + (1/6)w^2 + (7/360)w^4 + ...
より 1/sin w = 1/w + (1/6)w + (7/360)w^3 + ...
w = 1/z を代入して、
1/sin(1/z) = z + (1/6)/z + (7/360)/z^3 + ...
これは、 1/sin(1/z) の z = 0 中心のローラン展開になっている。
一般項の係数を書き出すのは、ちょっと困難。
1/sin(1/z) = Σ[n=0→∞] { ((d/dw)^n (w/sin w) | w=0)}/n! } z^(1-n)
= Σ[k=0→∞] { ((d/dw)^(2k) (w/sin w) | w=0)}/(2k)! } z^(1-2k)
とか書いてみても、あまりうれしい気はしない。
No.3
- 回答日時:
ローラン展開を考える点の近傍ではその点をのぞいて
正則でなければならない。
しかし
sin(1/z) の零点はnを0以外の任意の整数としてz=1/(nパイ)だから
表題の関数は
z=0のどの近傍にも特異点がある。
そたがって問題のローラン展開は存在しない。
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