ローラン展開についての質問ですが、 1/sin(1/z) の z=0 を中心とするローラン展開はどう

ローラン展開についての質問ですが、
1/sin(1/z) の z=0 を中心とするローラン展開はどうなるのかお教えください。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/30 00:25

sin w = 0 の解を考えれば判るように、

1/sin(1/z) の特異点は z = 1/(2πn) + 0i {nは整数} である。
特異点がみな ｜z｜ ≦ 1/(2π) の範囲に存在しているから、
収束円環が 1/(2π) < z < +∞ であるようなローラン展開が在ってもおかしくない。

1/sin w を w についてローラン展開してみる。
w = 0 は 1/sin w の 1位の極だから、
w/sin w をマクローリン展開して w/sin w = 1 + (1/6)w^2 + (7/360)w^4 + ...
より 1/sin w = 1/w + (1/6)w + (7/360)w^3 + ...

w = 1/z を代入して、
1/sin(1/z) = z + (1/6)/z + (7/360)/z^3 + ...
これは、 1/sin(1/z) の z = 0 中心のローラン展開になっている。

一般項の係数を書き出すのは、ちょっと困難。
1/sin(1/z) = Σ[n=0→∞] { ((d/dw)^n (w/sin w) ｜ w=0)}/n！ } z^(1-n)
　　　　　= Σ[k=0→∞] { ((d/dw)^(2k) (w/sin w) ｜ w=0)}/(2k)！ } z^(1-2k)
とか書いてみても、あまりうれしい気はしない。

この回答へのお礼

丁寧にお答え頂きありがとうございます。とても勉強になりました。

お礼日時：2021/07/30 15:21

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2021/07/30 14:47

なるほど原点の近傍ではローラン展開できないだけで

原点を中心とするある円より外ではローラン展開可能。

ありさんのいうとおりです。
ごめんなさい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/07/30 15:22

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2021/07/29 21:35

ローラン展開を考える点の近傍ではその点をのぞいて

正則でなければならない。
しかし
sin(1/z) の零点はｎを0以外の任意の整数としてｚ＝1/(ｎパイ）だから
表題の関数は
ｚ＝0のどの近傍にも特異点がある。
そたがって問題のローラン展開は存在しない。

この回答へのお礼

お答え頂きありがとうございます。

お礼日時：2021/07/30 15:20

No.2 回答者： ibm_111 回答日時： 2021/07/29 21:25

あ、すみません、「z=0 を中心とするローラン展開」・・・？

それって定義できるんですかね？

No.1 回答者： ibm_111 回答日時： 2021/07/29 21:24

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsin%281 …
の「z=∞における級数展開」というところに出ています

この回答へのお礼

お答え頂きありがとうございます。

お礼日時：2021/07/30 15:20