生産財市場では価格需要者であるが、労働市場では買い手独占である企業を考えなさい。生産財価格は1である

生産財市場では価格需要者であるが、労働市場では買い手独占である企業を考えなさい。生産財価格は1である。生産要素は労働のみであり、生産関数は
Q=L−1/2L^2
である。ここで、Qは財の生産量、Lは労働投入量である。企業が直面する労働供給曲線は
Ls＝w
である。ここで、Lsは労働供給量、wは賃金である。

⑴均衡における雇用量と賃金を求めなさい。

⑵政府は、適切な水準に最低賃金を設定することによって、この労働市場において失業を生むことなく⑴で求めた水準よりも雇用を増やすことができる。その範囲を求めなさい。

⑴については、以下のような回答になりました。
限界労働生産性を求める
MPL＝1−L
MPL＝w/pより
1−L＝L/1
L＝1/2
w＝L＝1/2
よって、雇用量1/2、賃金1/2

⑵について、解き方が分かりません。
分かる方教えて下さいm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• ご回答頂き有難うございます！
  おっしゃる通りの方法で計算したところ、
  π＝L−(3/2)L^2
  π’＝0とすると
  π‘＝1−3L＝0
  よってL＝1/3
  w＝L＝1/3
  となりました。
  合っていますでしょうか。
  
  私の解き方では、「労働の限界生産性＝実質賃金率」を用いたのですが、この均衡式は独占市場においては使えないということでしょうか。

    補足日時：2021/10/25 17:34

• ご返信が遅くなり、すみません！
  1/3は⑴で求めた値で、1/2は完全市場のときの賃金だということは分かるのですが、なぜその範囲になるのか分かりません。。。

    補足日時：2021/11/04 08:49

• 丁寧に解説して頂き有難うございます！
  納得した部分と、まだ理解しきれていない部分があります。(グラフは書いて考えてみました！)
  
  以下に理解できていない部分を挙げました！
  ①初歩的なことですが、問題文に「生産財市場では価格受容者である」とありますが、それはどの部分に反映されているのでしょうか。「労働市場が買い手独占」であることは、利潤最大化の式がMC=MRになることに反映されていますよね。。。
  ②労働供給曲線から限界費用曲線を求めることはできますか？(労働供給曲線と限界費用曲線の関係がイマイチ分かりません。)
  ③最低賃金を1/2よりも高く設定すると失業が発生するため、1/2よりも高く設定できないことは分かりました。しかし、なぜ1/3以下に最低賃金が設定できないのか分かりません。
  
  買い手独占について少しこんがらがっています。汗
  分かりにくい説明ですが、宜しくお願い致します(＞人＜;)

    補足日時：2021/11/05 15:18

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/10/25 07:39

残念ながら、(1)についてもあなたの答えは正しくありません。

Π＝PQ(L)-W(L)L
をLについて最大化する。ここで、
P＝１
Q(L)=L−(1/2)L^2
W(L)=L
です。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/10/25 15:06

まだわからない？何がいけないかというと、あなたはこの企業が労働市場で買い手独占だという条件を使っていない。

労働市場でもプライステイカー（価格受容者）であるかのように解いている、ことだ。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/10/25 18:13

>合っていますでしょうか。

これこそが(1)の答えです。

＞私の解き方では、「労働の限界生産性＝実質賃金率」を用いたのですが、この均衡式は独占市場においては使えないということでしょうか。

それはこの企業が労働市場でもプライステイカーであるということです。
利潤最大化のプロセスを見てみましょう。
Π＝PQ(L)ーW(L)L
(i)　企業が労働市場で競争的に（つまりプライステイカーとして）行動するとき。このときはW(L)＝W(＝定数）なので、P=1に注意し
Π＝Q(L)ーWL
をLについて利潤を最大化すると
0 =dΠ/dL＝Q'(L) - W
Q'(L)=W
右辺のWに労働供給曲線W＝Lを代入し、Q'(L)＝1-Lに注意すると
1-L=L
L=1/2
と、あなたの（正しくない）答えを得る。

(ii) 企業が労働市場で買い手独占であるとき。
Π= PQ(L) - W(L)L
利潤をLについて最大化すると、P=1に注意すると
0 = dΠ/dL=Q'(L) - (W'(L)L+W(L))=P(1-L) - (L+L) =1- 3L
L=1/3
と、正しい答え（買い手独占の場合の答え）を得る。

要するに、労働市場で買い手独占ならば、W＝Lという労働供給曲線に直面しているのにたいし、労働市場でプライステイカーなら、所与の賃金ｗに直面して行動しているのだ。
買い手独占が難しかったら、通常の生産物の売り手独占企業が生産物の市場での競争企業（プライステイカー）とどう違うのか考えてごらんなさい。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/10/26 05:03

No3は理解できた？No3で

買い手独占が難しかったら、通常の生産物の売り手独占企業が生産物の市場での競争企業（プライステイカー）とどう違うのか考えてごらんなさい。

と書いたが、ちょっと脱線だが、この問題を考えてみよう。もし企業が生産物市場でプライステイカーなら、利潤最大化の一階の条件は「価格＝限界費用」と習ったでしょう。しかし、売り手独占なら、最大化条件は「限界収入＝限界費用」だ。例を挙げて説明しましょう。ある生産物市場で、費用曲線
C=cQ
を持つある独占企業が、(逆）需要曲線
P= a- bQ
に直面しているとしよう。利潤最大化生産量は
MR＝MC
よって、
a - 2bQ = c
Q＝(a-c)/2b
によって与えられる。しかし、この企業がプライステイカーとして行動するなら、
P＝MC
a-bQ=c
Q=(a-c)/b
と、より高い生産量を得ることになる。
あなたが求めたのは、いわば前者を求めよといわれたのに後者をもとめてしまったようなものだ。どこが間違っているかわかったでしょうか？

この回答へのお礼

ご回答頂き有難うございます！ご返信が遅くなり、すみません！
この説明がすごく腑に落ちました！
買い手独占においても、売り手独占と同様に利潤最大化はMR＝MCのように考えて良いのですね。
(2)についても一度解き直してみます。またこちらで、返信させて頂きます！宜しくお願い致しますm(_ _)m

お礼日時：2021/10/26 18:51

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/10/29 05:44

>買い手独占においても、売り手独占と同様に利潤最大化はMR＝MCのように考えて良いのですね。

ある意味でそうです。
Π=PQ(L)-W(L)L=R(L)-C(L)
ただし、R(L)=PQ(L), C(L)=W(L)L
よって、最大化の一階の条件は0=ｄΠ/dL=R'(L)-C'(L)=MR(L)-MC(L)となるので、MR(L)=MC(L)となる。つまり、限界収入＝限界費用。具体的に与えられた関数を代入すると
MR(L)＝1- L
MC(L)=2L
となるので、MR（L)＝MC(L)　 ⇒　L=1/3　と正しい答えが求まる。売り手独占との違いには注意されたい。売り手独占の場合は限界収入＝限界費用
はMR(Q)=MC(Q)だ。そこに注意すれば、買い手独占の場合の労働市場での買い手企業の利潤最大化条件は限界収入＝限界費用といってもよい。

(2)については考えてみたでしょうか？その問題へのワンステップとしてグラフをＷ－Ｌ平面に描いてみるとよい。Ｗ、MR、MCを縦軸にとり、Lを横軸にとってMR(L)曲線、MC(L)曲線、それからW=Lの労働供給曲線を描く（いずれも直線だ）。それらのグラフを用いてまず(1)の問題がグラフ上でどのように解けるか見てください。

No.6 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/10/30 10:17

No5で次のことをトライしてみて、と書いたが、できたのだろうか？あなたからの反応はないが。

。。

＞(2)については考えてみたでしょうか？その問題へのワンステップとしてグラフをＷ－Ｌ平面に描いてみるとよい。Ｗ、MR、MCを縦軸にとり、Lを横軸にとってMR(L)曲線、MC(L)曲線、それからW=Lの労働供給曲線を描く（いずれも直線だ）。

与えられた条件によると、
MC(L)=2L
MR(L)=1-L
労働供給曲線は
W(L)=L

Lを横軸にとり、MC,MR,Wを縦軸にとってこれらの曲線(直線）を描くと、
・1番目は原点を通り、傾き２の右上がりの直線
・2番目は縦軸の切片が１で、傾きが-1の右下がりの直線
・3番目は傾きが１の右上がりの直線（45度線）
1番目と2番目の直線の交点の横軸座標は1/3で、縦軸座標,つまりMC(1/3)=MR(1/3)=MR(1/3)＝2/3となる。
最後に、そのときの賃金WはL=1/3を労働曲線W(L)に代入し
W=W(1/3)=1/3
となる。これが(1)の答えだが、図を描いて確かめよ。

(2)の問題に移ると、政策当局が最低賃金を1/3以上の、ある値（たとえば、a）に設定すると、労働の供給曲線は縦軸上のその値aから、元の供給曲線
W(L)=Lにぶつかるところまでは水平になり、ぶつかったところから、元の供給曲線上を上っていく。つまり、
W=a　　　　　　　 0≦L<aのとき
W＝L　　　　　　　 L≧aのとき

となる。グラフを描いて眺めてごらん。ここから(2)の答えをどう考えたらよいか考えてごらん！

No.7 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/11/03 09:29

(2)についてその後あなたからは全く反応がないが、私が正解だと思う結論を書いておきましょう。

政府は最低賃金を1/3と1/2の間の任意の値に設定する。No6で書いた記号を使うと、aを
1/3 ≦a ≦1/2
のように決定する。

No.8 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/11/04 12:09

>1/3は⑴で求めた値で、1/2は完全市場のときの賃金だということは分かるのですが、なぜその範囲になるのか分かりません。

。。

No6で示したグラフは描いてみたのでしょうか？それをベースに答えます。政府が最低賃金aを1/3に設定すると、この企業は賃金ｗを1/3に設定し、L=1/3を雇用するので、以前と何も変わらない。政府がaを1/2に設定すると、企業はｗを1/2にし、L=1/2を雇用する。a=1/2のとき企業の限界費用はすべてのLに対してMC(L)＝w=1/2となり、L=1/2を雇用すると、MR(1/2)=1-1/2=1/2となり、MC(1/2)=MR(1/2)の企業の利潤最大条件を満たす。一方、労働者の供給曲線W(L)=LもL=1/2を満たすので、失業はゼロだ。では政府がaを1/3よりほんのちょっとεだけ高く設定するとどうなるか？a=1/3+εとすると、企業はｗ＝1/3+εを提示しようとする。このとき、MR(L)=1-L=/3+εとなるので、労働需要量はＬ＝2/3-εとなるが、w=1/3＋εのとき労働供給側はLs＝1/3+εしか供給しないので、労働市場は2/3-ε-(1/3+ε)=1/3-2εの需要超過となる。賃金ｗが1/2まで上昇して労働の需給が一致するまで続くので均衡においては、w=1/2が成立するだろう。aは最低賃金なので、現実の賃金wはaより低くなることはできないが、aより高くなることはかまわない。以上の議論は最低賃金aが1/3以上で1/2以下のとき成り立つ。
では、政府が最低賃金aを1/2よりちょっとだけ高い値（たとえば、1/2＋ε）にaを設定するとどうなるか？すると、雇用Lは増えるが、この賃金では労働供給が雇用を超えるので失業が発生する。グラフからこれを確かめてください。
i以上の議論から、政府が最低賃金aを1/3と1/2の間の値に設定するなら、均衡においてはw=1/2とL=1/2（失業のない均衡）が実現することになるだろう。

No.9 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/11/05 09:25

まだ理解あるいは納得していない？一つずつクリアーしていきましょう。

・まず、No6で示した図・グラフは描いてみた？Yes or No?
・政府は1/3以下に最低賃金(以下ではaという記号を用いる）を設定することはない？なぜ？
・政府が1/2より高いaの値を設定すると、失業が発生する？なぜ？
・したがって、政府が失業をともなわないaを設定するなら、1/3と1/2の間の値に設定することになる？ここまではよいでしょうか？Yes or No？
・ではaを1/3と1/2の間の値に設定したら、どうなるか？具体的に、たとえば、間をとってa = 5/12に設定したらどうなるか？企業がこの最低賃金で賃金をオファーすると、w=5/12とすると、企業の利潤最大化雇用量はMR(L)=1-L=5/12よりL=7/12となる。しかし、ｗ＝5/12のもとでは、労働市場ではLs＝5/12しか労働供給がないので、労働にたいする需要超過になる。賃金は上昇し、w=1/2となったとき、はじめて労働市場の需給が一致する。w=1/2のもとで、労働需要はMR(L)＝1-L=1/2、よってL=1/2となる一方、労働供給側もLs=w=1/2と、両者が等しくなる。W=1/2>5/12=aとW=1/2は最低賃金条件を満たしている。
・以上のように、政府がaを1/3と1/2の間の値に設定するなら、均衡ではw=1/2、L=1/2が成り立ち、失業も発生せず、雇用も1/3から1/2へと増加することになる。納得できたでしょうか？Yes or No？

No.10 回答者： gootarohanako 回答日時： 2021/11/05 15:18

No9で以下のように書きましたが、少し修正したいと思う。

＞・ではaを1/3と1/2の間の値に設定したら、どうなるか？具体的に、たとえば、間をとってa = 5/12に設定したらどうなるか？企業がこの最低賃金で賃金をオファーすると、w=5/12とすると、企業の利潤最大化雇用量はMR(L)=1-L=5/12よりL=7/12となる。しかし、ｗ＝5/12のもとでは、労働市場ではLs＝5/12しか労働供給がないので、労働にたいする需要超過になる。賃金は上昇し、w=1/2となったとき、はじめて労働市場の需給が一致する。w=1/2のもとで、労働需要はMR(L)＝1-L=1/2、よってL=1/2となる一方、労働供給側もLs=w=1/2と、両者が等しくなる。W=1/2>5/12=aとW=1/2は最低賃金条件を満たしている。
・以上のように、政府がaを1/3と1/2の間の値に設定するなら、均衡ではw=1/2、L=1/2が成り立ち、失業も発生せず、雇用も1/3から1/2へと増加することになる。納得できたでしょうか？Yes or No？

政府がa=5/12に設定したとき、企業としては賃金をw=5/12で、L=7/12を雇用するのが最善だ。しかし、労働側はこの賃金率ではLs=5/12しか供給しないので、一つの方法は賃金をこの値で固定し、L=5/12を雇用することだ。この雇用量は元の1/3より大きく、しかのこの賃金で雇用されたい人たちはすべて雇用されている（失業はない）。同様のことは、aが1/3から1/2の間の値のいずれについてもいえる。いずれにしても、（２）回答であるaの「範囲」としては、No8あるいはNo9での回答と同じく、1/3から1/2ということになる。