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例えば
H = ∫∫ h(x,y) dx dy (積分範囲は(x,y)∈A)
を計算する際に
x = f(u,v)
y = g(u,v)
と変数変換したとすると、
dx = (∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv
dy = (∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv
この係数行列がヤコビアン行列 J
∂x/∂u, ∂x/∂v
∂y/∂u, ∂y/∂v
です。そして、その行列式をdet(J)とすると
H = ∫∫ h(f(u,v),g(u,v))|det(J)| du dv (積分範囲は(f(u,v),g(u,v))∈A)
となる。絶対値に注意です。
で、ご質問ではどうやら、
x = f(u,v) = u+v
y = g(u,v) = uv
という変数変換をやったらしい。なのでヤコビアン行列 J は(上記の偏微分をやってみればわかる通り)
1, 1
v, u
であり、
|det(J)| = |u - v|
ということ。
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