線形代数の質問

|a b c d|
|b c d a|
|c d a b|
|d a b c|の因数分解のときかたを教えてください。

できれば
|5 -2 -2|
|-1 7 3|
|1 -4 0|の固有値とそれに対する固有ベクトルの求め方もお願いします。

No.1 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/25 02:33

ひとつ目：

「ブロック行列」とは何か？を google 等で調べてみる。と、
その行列式 = (ac - b^2)^2 - (ca - d^2)^2 となる理由が判って、
あとは中学生の計算となる。

ふたつ目：
そゆのは、自分で。

この回答へのお礼

返答ありがとうございます。
検索して調べて3行3列の固有ベクトル解けました。
一応教科書とかみてるんですがなかなか理解できなくて。。

お礼日時：2009/02/25 17:04

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/02/25 11:48

問題だけ書いて解答を作ってもらうのは問題の丸投げといって、このサイトの禁止事項となっており、削除対象となります。

■独立な問題は別の質問として投稿するようにして下さい。

解き方について、教科書、参考書、講義ノート、ネット検索などで調べたり勉強しなおして、、自力解答が作れるようになってから、その解答を補足に書いた上で、行き詰った箇所について質問して下さい。回答者からのヒントやアドバイスがあれば、それも解答作りの参考にして自力解答を作り、補足に書いて下さい。

ヒント）
前半
式の対称性に目をつける。
■(2)～(4）行目を(1)行目に加えると因数(a+b+c+d)で括れる。
■(3)行目-(2)行目-(4)行目を(1)行目に加えると因数(a-b+c-d)で括れる。

後半
ネットで「３行３列行列 固有ベクトル」で検索すれば、類似の問題の解法が沢山出てきます。

質問は自力解答を補足に書いて質問して下さい。解答のチェック依頼でもOKです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。すいません以後気をつけます。
今いち文字の因数分解のせめかたがわからないんですが
(a+b+c+d)|1 1 1 1|
　　　　 |b c d a|
　　　　|c d a b|
　　　　|d a b c|
この後(3)行-(2)行-(4)行を(1)行に加えるのか、又は
(a+b+c+d)(a-b+c-d)|1 1 1 1|
　　　　　　　　　|b c d a|
　　　　　　　　　|c d a b|
　　　　　　　　　|d a b c|
こういう風になるのか括りのタイミングみたいなのがわかりません
多分3行3列にしてサラスの法則をつかうんではないかと思うんですが
4行4列をどうにかしないといけないんですよね・・？

お礼日時：2009/02/25 16:36

No.3 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/02/25 14:32

|5 -2 -2|

|-1 7 3|=Z
|1 -4 0|

のとき、
｜Z-λI｜＝０を満たすλを計算します。


｜Z-λI｜
＝｜（5-λ）、－２、－２｜
　｜－１、(7-λ）、 　３｜
　｜1、 -4、 (0-λ）｜

=-(λ-３）（λ-４）(λ-５）
になるので、
λ＝３，４，５がこの行列の固有値になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
3行3列固有値までの解き方はわかりました。

お礼日時：2009/02/25 16:38

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/02/25 18:58

#2です。

A#2の補足の質問の回答

(a+b+c+d)と(a-b+c-d)が因数であることはA#2に書いたやり方で
個別に計算して因数が見つかりますので、
その積も因数になることは分かりましたか？
(a-b+c-d)の因数で括れることを一時頭のすみに置いておいて計算を進めて
下さい。
(a+b+c+d)*
|1 1 1 1|
|b c d a|
|c d a b|
|d a b c|

この計算で(2)～(4)列目から(1)列目を引いてください。
そうすると一行目が(1,1)要素だけになりますから
4行4列の行列式が、3行3列の小行列ひとつだけに展開できます。

出来た3行3列の行列で3行目を1行目に加えてやると
1行目から頭のすみに置いておいた
(a-b+c-d)の因数が括りだせます。

その後3列目から1列目を引いてやれば、一行目が(1,1)要素だけになり
(1,1)要素の小行列展開で2行2列の行列式になります。

その後は、誰でも出来るでしょう。

後半の固有ベクトルPは
(1/3)*
[ 1 3 0]
[-2 -3 -3]
[ 3 3 3]
となります。

この回答への補足

ありがとうございます。
『(2)～(4)列目から(1)列目を引いてください。』
という日本語を混乱してちゃんと理解できてるかわかりませんが
(1)列目を(2)(3)(4)各々の列で引いて
1-1-1-1
b-c-d-a
c-d-a-b
d-a-b-c　　　　　とすればいいのでしょうか。
『そうすると一行目が(1,1)要素だけになります』
すいませんこの辺をもう少し教えてください。

補足日時：2009/02/25 23:37

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/02/25 19:32

#2,#4です。

A#4の後半のヒントの
行列Pは
正確には固有ベクトル行列と言います。
固有ベクトルは行列Pの各列が順に
固有値3,5,4に対する固有ベクトルとなっています。

なお、固有ベクトルや固有ベクトル行列Pについては、
A#2のヒントに書いたように、ネットをGoogle検索すればいくつも
解答・解説つき例題が載っていますのでご自分で調べてください。

No.6 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/02/25 23:18

[5, -2, -2]

[-1, 7, 3 ]=[Z]とします。
[1 ,-4, 0 ]

[x1]
[x2]=[X]とします。
[x3]

[Z][X]=λ[X]が成り立つ固有Vector[X]を求めます。
λ＝５の場合を求めます。

[5,-2,-2][x1] [x1]
[-1,7, 3][x2]=5[x2]
[1,-4, 0][x3] [x3]
つまり
[5x1 -x2 -x3] [x1]
[-x1+7x2+3x3]=5[x2]
[x1 -4x2 +0] [x3]


[5x1 -x2 -x3] =5[x1]・・・・（１）
[-x1+7x2+3x3] =5[x2]・・・・（２）
[x1 -4x2 +0] =5[x3]・・・・（３）

の3元連立方程式が求まる。
これより
ｘ１＝ｘ３
ｘ２＝－ｘ３
ｘ３＝１と置くと

[x1] [1]　　　　　　[ 3]
[x2]=[-1]=(1/3)*[-3]
[x3]　[1]　　　　　　[ 3]

が求まる。

No.7 回答者： info22 回答日時： 2009/02/26 00:41

#2,#4,#5です。

A#4の補足の質問の回答
>『(2)～(4)列目から(1)列目を引いてください。』
正しく理解してないようです。
「1」から「1」を引いてなぜ「-1」になりますか？

(a+b+c+d)*
|1 1 1 1|
|b c d a|
|c d a b|
|d a b c|

> この計算で(2)～(4)列目から(1)列目を引いてください。
=(a+b+c+d)*
|1 0 0 0 |
|b c-b d-b a-b|
|c d-c a-c b-c|
|d a-d b-d c-d|

>そうすると一行目が(1,1)要素だけになりますから
>4行4列の行列式が、3行3列の小行列ひとつだけに展開できます。
=(a+b+c+d)*1*
|c-b d-b a-b|
|d-c a-c b-c|
|a-d b-d c-d|

> 出来た3行3列の行列で
> 3行目を1行目に加えてやると
=(a+b+c+d)*1*
|c-b+a-d 0 a-b+c-d|
| d-c a-c b-c |
| a-d b-d c-d |

>1行目から頭のすみに置いておいた
>(a-b+c-d)の因数が括りだせます。
=(a+b+c+d)*(a-b+c-d)
| 1 0 1 |
|d-c a-c b-c|
|a-d b-d c-d|

つづきはA#4に書いた通りやってみてください。
ちゃんと出来ますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
解いてみたところ(a+b+c+d)(a-b+c-d)(b-d) |a-c 1 |
　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　|1 c-a|、となりました。
ここはサラス展開でいいのでしょうか　　　(a-c)(c-a)-1

最初に因数をみるけるときの(a-b+c-d)なんですが
(3)行目-(2)行目-(4)行目を(1)行目に加えると
(a-b+c-d)(-a+b-c+d)(a-b+c-d)(-a+b-c+d)という行ができます。
これは(a-b+c-d)で括っても問題ないのでしょうか。
それとサラス展開というのはこのすべてにおいて必要ないのかが少し疑問です。

お礼日時：2009/02/26 01:54

No.8 回答者： info22 回答日時： 2009/02/26 14:20

#2,#4,#5,#7です。

A#7の質問
>これは(a-b+c-d)で括っても問題ないのでしょうか。
括れるから括っているのです。行列式の基本的な性質です。
多分、授業で行列式の性質を習ってこなかったのでしょう。
行列式の基本の演算則や性質をきちんと書いていない欠陥教科書や参考書が多いです。サラスの展開法を万能とそれだけを教え、覚えさせる教育は考え物ですね。サラスの展開法は最後の手段です。

>解いてみたところ
>(a+b+c+d)(a-b+c-d)(b-d)
|a-c 1 |
|1 c-a|
>となりました。
間違い。
途中の計算が書いてないのでチェック不能。
(b-d)は括り出せません。

行列式の基本的な性質や演算則（演算法）の勉強がおろそかになっていて
簡単な演算が出来ないのは問題です。授業がいい加減だったのかも知れませんが。基本的な計算でボロが出ています。

A#7の続き
（A#4の手順の続き）
=(a+b+c+d)*(a-b+c-d)*
| 1 0 1 |
|d-c a-c b-c|
|a-d b-d c-d|

>その後3列目から1列目を引いてやれば、一行目が(1,1)要素だけになり
=(a+b+c+d)*(a-b+c-d)*
| 1 0 0 |
|d-c a-c b-d|
|a-d b-d c-a|
>(1,1)要素の小行列展開で2行2列の行列式になります。
=(a+b+c+d)*(a-b+c-d)*
|a-c b-d|
|b-d c-a|

後は2行2列の行列式にサラスの展開を使えば良いですね。

>それとサラス展開というのはこのすべてにおいて必要ないのかが少し疑問です。
サラスの展開さえ覚えておけば、行列式の問題は全てできると習ったのでしょうね。だからそういう発想しか出来ないのでしょうね。

一度サラスの展開で全部展開してから因数分解してみてください。
多分、行き詰って途方にくれるだけだと思います。それも経験でしょう。

この回答へのお礼

a+b+c+d)(a-b+c-d)(b-d)
|a-c 1 |
|1 c-a |行と列を混ぜて括ってました。。間違えてますね
サラス展開は計算できなくなったあとの最後の手段なんですね。
まずは性質をきちんと理解した上で他の文字行列の因数分解にもチャレンジしてみようとおもいます。
因数を見つける→括って次元を減らしていく→（サラスの展開）
で頑張ります。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2009/02/26 23:37