関数 f(x) = e＾（2x） について，x = 0 におけるテイラー展開を求めよ

関数 f(x) = e＾（2x） について，x = 0 におけるテイラー展開を求めよ


すみません、わからないので教えていただきたいです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/05 23:40

e^t = Σ[k=0→∞] t^k/k！ は e^t の定義そのもの。

これに t = 2x を代入すれば、
e^(2x) = Σ[k=0→∞] {(2^k)/k！}x^k.
↑これが e^(2x) のマクローリン展開(x=0 におけるテイラー展開)。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/04/05 09:59

テーラー展開、この場合はマクローリン展開だけど

教科書にどう展開するのかそのまんま載ってるはず。

それで必要になるのが、f(x) の n次微分
それをここでは f^(n)(x) と書くとすると

f^(n)(x) = 2^n・e^(2x)

となるのが分かれば、これを代入して終わりです。