コラッツ数値群テーブルがコラッツ予想を証明していることを説明

以下の続きです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13000409.html

はい、世代数でいいです

4n+1<2^m
の
時
4n+1は多くとも(2^m)世代の操作で1に到達できる事を証明して下さい
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この回答へのお礼
3桁からメルセンヌ桁が上回りますが、桁が大きくなるにしたがって
メルセンヌ数と差が開きますが、証明する意味ありますか？

質問者からの補足コメント

• こんな感じでいかがでしょうか？
  
  2^m内の4n＋1の個数は、2^(mー2)である。
  たとえば2^5内では、1,5,9,13,17,21,25,29の8個で３２の1/4である。
  したがって2^(m＋2)内で、0世代である1を除く2^mー１個の4n＋1になり、
  世代の最大は、2^m＞2^mー１になる。
  したがって2^(m＋2)ー１のメルセンヌ行の12n+3の最大値まで生成することにより
  その最大値以下、2^mー１世代内で、任意の数は１に到達する。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/20 07:01

• 初期値２７の4n＋1は４１で、４１の2^mは2^6で
  メルセンヌ行の2^(８)ー１の12n+4は13120で、
  ２７のコラッツ数列の最大値9232はそれ以下で、17世代＜2^6未満となります。

    補足日時：2022/06/20 08:05

• あなたのいうとおりの意図で出題されたのなら、
  4n+3の冗長性は認めないということになろうかと？
  2^6は2^6の5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57,61が対象であり、
  これは世代に関する部分で、4n+1が3n+1になるので、この部分だけなら、これでいいのですが、
  その4倍まで2^8は冗長性の4n-3に関する部分ですが、出題の2^6の以上の世代を超えないと言う用件は満たしてます

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/20 13:28

• 初期値として 27 を選ぶと、以下のように数列は111ステップにまで及び、その値は最終的に 1 に到達する前に 9232 にまで増大する。
  https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9 …
  
  仮にステップであれば、27-41の2^6＝６４内で考えないといけないというのは、２７の111ステップは超えており、最初から成り立たない出題を持ちかけたということになろうかと？

    補足日時：2022/06/20 14:04

• 幾つかボトムアップで生成する方法はあるんです。
  奇数の１から、4n-1から、0世代から

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/21 00:03

• たとえば、2^m未満の4n+1とそれに付随する4n+3を網羅しても、2^m未満の4n+3の奇数が網羅されている訳でない。
  だから2^6では27、や３１を網羅しようとすると、27－41、３１・・・・161の4n+1も網羅しないといけない２進木の頂点のメルセンヌ数との関係のことを言っているのでは？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/21 00:28

• できたら、また質問上げますね。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/22 04:43

No.9 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/21 11:02

では

背理法を使ってコラッツ予想を証明してください

1に到達しない自然数が存在する事を仮定すると
N=(全自然数の集合)
X={x∈N|xは1に到達しない}≠φ
はNの空でない部分集合だから最小値が存在するからそれを
x
とすると
xが偶数と仮定するとx/2<xとなってxが最小である事に矛盾するから
xは奇数
x=4n+1と仮定すると(3x+1)/4=(3(4n+1)+1)/4=(12n+4)/4=3n+1<4n+1=x
となってxが最小である事に矛盾するから
x=4n+3
…
というように
矛盾を引き起こすことによって
証明してください

この回答へのお礼

おわかりのように数学の証明には成れていません。
幾つかの一般的証明の中で、背理法が適当ですか、勉強してみます。

お礼日時：2022/06/21 14:43

No.8 回答者： あんこがすき 回答日時： 2022/06/21 09:31

そうですか？

0世代から逆向きの漸化でジェネレートしていく行のつながりと
特定の自然数から順向きの漸化でリンクしていく行のつながりが
どこかで接続する根拠に触れていないように思うのですが。
目的の自然数からリンクしていった順向きの漸化の先が、
実は1を含まないループになっていて、
0世代から生成したコラッツテーブルにはつながらないという
可能性が否定されていません。だから、証明は完成していませんね。

この回答へのお礼

まあ、天才が望んでも今だ未解決問題なので、ゆっくりいきましょう。
ルート奇数が世代で一意なのは、わかってことでしょうか？

お礼日時：2022/06/21 14:30

No.7 回答者： あんこがすき 回答日時： 2022/06/20 18:26

mtrajcpさん、横槍すみません。

リンクをたどって証明を読んでみたけれど、大前提として、
s_hyamaさんの文章は、説明不足で証明になっていないという印象です。
特に、メルセンヌ数が証明の骨子とどう関係しているのかは、
さっぱり分かりませんでした。

説明のない部分を回答者とのやりとりから推測すると、どうやら
(1)コラッツテーブルは何世代でも無限にジェネレートできる。
(2)どんな自然数も何らかの世代に属している。
(3)だから、全ての自然数はコラッツテーブルに登場しており、
　 したがってコラッツ予想は正しい。
という話になっているように見えます。
この解釈でよいとすると、証明の間違いは(2)にあります。

用語が不足しているようなので、ひとつ追加しましょう。
共通のルート奇数を持つ自然数の集まりを「枝」と定義します。
コラッツテーブルのひとつの世代は、複数の枝を含みます。
s_hyamaさんがいくつかの補足で述べている
全ての自然数はつながるという話は、全ての自然数は何らかの
枝に含まれるという意味では正しい。ただし、その枝の
ルート奇数が他の世代に含まれている保証が無いため、
その枝がコラッツテーブルのどこかの世代に属しているかどうか
は証明されていません。

(3)で証明できた気がしてしまったのは、
(2)のところで枝と世代を混同したためだと思われます。
枝やその枝を含む世代っぽいものが、コラッツテーブルに含まれる
本当の世代であるかどうかは、そこから順方向の漸化で何回か
他の枝につながることを調べるだけでは不十分で、
ちゃんと第0世代の1まで(というか1からというか)つながって
コラッツテーブルに含まれることの理由を述べる必要があります。

コラッツ予想そのものは未解決なので、あるいは(2)を示すことは
可能なのかもしれないけれど、s_hyamaさんの証明は
そこの部分が埋められていないから、コラッツ予想の証明としては
まだ完成していません。

この回答へのお礼

分析ありがとうございます。
コラッツの数値群論テーブルは、0世代から生成しますので、
Odd-Evenペアがユニーク＝行がユニークであるので、そのメンバの奇数もいい回きりです。
その世代の奇数から、次のルート奇数をインデックスとする行が生成しますので、一つのルート奇数はその世代にしかないことになりますが？

そこを理解されてないのでは？
https://note.com/s_hyama/n/n207a1363c9aa

お礼日時：2022/06/20 23:56

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 17:02

とにかく

4n+1
の
時
初期値
4n+1のコラッツ数列が有界である事を証明してください

この回答へのお礼

回答の皆様にコラッツ数値群テーブルの意味をもう一回説明しますね。
4n＋1の順に行を積み重ねるとしましょう。
これは完全にユニークなOdd^Evenの関係の行です。
それにOdd-Oddの奇数が付随します。これが付随してもユニークな奇数メンバの行です。
ただ、4n＋１と付随する二進木の抜けのないOdd-OddペアはOdd^Evenの積み重ねのペースが違うだけで、無限に向かってその世代リンクが同時でないだけです。

お礼日時：2022/06/21 00:18

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 16:17

では

4n+1<2^m
の
時
初期値
4n+1のコラッツ数列は2^(m+2)を超えない事を証明してください

この回答へのお礼

なにかステップ数にこだわっているようですが、
なんのための証明ですか、あなたの出題は？

コラッツ数値群論テーブルとの関係をはっきりさせてください。

お礼日時：2022/06/21 00:01

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 15:56

2^m内の

4n＋1の個数は、2^(m-2)である

2^(m+2)内で
0世代である1を除く
4n＋1の個数は、2^m-1である
から
なぜ
世代の最大は2^m>2^m-1
に
なるのかの証明が無いので
証明になっていません

この回答へのお礼

2^mの内訳は、
1/4の4n＋１
1/4の4n＋３
1/2の偶数
あなたのおっしゃる、1/4なのにって言ってることは、任意の奇数が4n+1だけを扱う話とステップ数を混同しています。
コラッツ問題は、4n+3の初期奇数も網羅する必要があるので、27-41や
31-47-711-107-161の冗長な4n+1も扱う必要があります。
この2m内の冗長な161つまり、2^(m+2）まで扱えば、、2^mの1/4の4n＋１まで扱えるということです。

お礼日時：2022/06/20 16:36

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 10:59

m=4の時

2^(m+2)=2^6内で
0世代である1を除く2^m-1=15個の
4n＋1
5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57,61
に
なるけれども
世代の最大は(41の)
17
であるから
世代の最大は
2^m=2^4>2^m-1=2^4-1=15
になりません

この回答へのお礼

え、ｍ＝４のときは、5,9,13ですよ

お礼日時：2022/06/20 12:29

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/20 09:14

例えば

2^6内では
1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53,57,61
の
16個で64の1/4である
0世代である1を除く15個の4n+1になるけれども
世代の最大は(41の)
17
である
世代の最大は、15になりません

この回答へのお礼

したがって2^(m＋2)内で、0世代である1を除く2^mー１個の4n＋1になり、
世代の最大は、2^m＞2^mー１になる。

お礼日時：2022/06/20 10:34

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 19:51

桁が大きくなるにしたがって

メルセンヌ数と差が開くのならば
簡単に証明できるのでしょうから

すべての自然数nに対して

4n+1<2^m
の
時
4n+1は多くとも(2^m)世代の操作で1に到達できる事を証明して下さい

この回答へのお礼

証明の仕方は勉強しますが、世代間のどのメンバ同士でつながるかの冗長性があるので、世代数のその証明であれば、ボトムアップからでも、初期値からでも同じであることが証明できますね。
ありがとうございます。

お礼日時：2022/06/19 21:40