星の表面の放射輝度 (単位面積・単位時間あたりに出す電磁波のエネルギー) は 太陽の何倍になるか。

星の表面の放射輝度 (単位面積・単位時間あたりに出す電磁波のエネルギー) は 太陽の何倍になるか。
星の質量は太陽の16倍とします。

この問題が分かりません、教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/21 11:36

No.2 です。

再度訂正。

2^(4/3) の値が転記ミスでした。
2^(4/3) = 2.5198421･･･
なので

　太陽の 16^(1/3) = 2^(4/3) = 2.5198･･･ ≒ 2.52 倍

です。
最終結果は変わりません。

No.5 回答者： yos1912 回答日時： 2022/06/21 18:27

himageneさんの回答でだいたいのところはいいと思うのですが、求めたのは光度(Ｌ)であって放射輝度とは少し違っています。

放射輝度に変換するには、表面積の比で割る必要があります。
　wikiの主系列星の文中には、質量と半径の関係式が書かれていて、質量の０.７８乗に比例するとなっています(項目｢パラメータ参考値｣の直前の行)。
　これから半径は太陽の８.７倍、表面積は２乗して７６倍という結果が得られます。従って表面輝度は３００倍になります。表面温度はこれの１／４乗に比例しますから、２万５千Kという結果が得られます。

No.4 回答者： himagene 回答日時： 2022/06/21 12:57

教科書を持っていれば書いてあるはずなのですがね

太陽質量の16倍の主系列星の場合、放射輝度（光度）L と星の質量 M の間には、L/Ls = 1.4 (M/Ms)^(3.5) の近似式が成り立ちます。添字の"s"は太陽に関する量を表します。式の導出方法の概略は、
https://ja.wikipedia.org/wiki/質量光度関係
に書かれています。
要約すると、内部で核融合によって発生したエネルギーは太陽プラズマ中の光子の拡散で表面に運ばれ、そのエネルギー束が放射輝度に等しくなります。星を黒体で近似するとその時の放射エネルギーはステファン・ボルツマンの式で表されます。また、ステファン・ボルツマンの式に含まれる温度は重力ポテンシャルと熱エネルギーの関係を表すビリアル定理を使って求めます。この様にして求めた関係式の中の指数は"3"になります。
ここに代入すれば答えはすぐに求まり　L/Ls = 22938　になります。
。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/21 11:32

No.1 です。

失礼、間違いがありました。

（誤）
「星の表面の放射輝度 （単位面積・単位時間あたりに出す電磁波のエネルギー）」は、
・単位時間あたりの電磁波のエネルギーは、「半径の3乗」「質量」に比例する。
・星の表面積は、「半径の2乗」「質量の (2/3) 乗」に比例する。
ということなので、放射輝度は
　半径の3乗 / 半径の2乗 = 半径 に比例する
　質量 / 質量の (2/3) 乗 = 質量の (3/2) 乗に比例する
ということになります。

質量が「太陽の 16倍」であれば、放射輝度は
　太陽の 16^(3/2) = 4^3 = 64 倍
ということになります。

↓

（正）
「星の表面の放射輝度 （単位面積・単位時間あたりに出す電磁波のエネルギー）」は、
・単位時間あたりの電磁波のエネルギーは、「半径の3乗」「質量」に比例する。
・星の表面積は、「半径の2乗」「質量の (2/3) 乗」に比例する。
ということなので、放射輝度は
　半径の3乗 / 半径の2乗 = 半径 に比例する
　質量 / 質量の (2/3) 乗 = 質量の (1/3) 乗に比例する　　　←訂正
ということになります。

質量が「太陽の 16倍」であれば、放射輝度は
　太陽の 16^(1/3) = 2^(4/3) = 2.5192･･･ ≒ 2.52 倍　　　←訂正
ということになります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/21 11:19

これだけの条件では算出できないのではないでしょうか。

星と言っても、その成長・寿命の中での年齢によっていろいろでしょうし、トータルの発生エネルギー、表面積などによって変わると思います。

お示しの条件だと、
（A）単位体積当たりの発生エネルギーは太陽と同じ
（B）密度（単位体積当たりの質量）も太陽と同じ
といった条件が必要かと思います。

この条件であれば
・トータルの発生エネルギーは「体積」に比例する、つまり「半径の3乗」に比例する。
　密度が同じなら、「体積」は「質量」に比例する。
・星の表面積は「半径の2乗」に比例する。
ということです。

「星の表面の放射輝度 （単位面積・単位時間あたりに出す電磁波のエネルギー）」は、
・単位時間あたりの電磁波のエネルギーは、「半径の3乗」「質量」に比例する。
・星の表面積は、「半径の2乗」「質量の (2/3) 乗」に比例する。
ということなので、放射輝度は
　半径の3乗 / 半径の2乗 = 半径 に比例する
　質量 / 質量の (2/3) 乗 = 質量の (3/2) 乗に比例する
ということになります。

質量が「太陽の 16倍」であれば、放射輝度は
　太陽の 16^(3/2) = 4^3 = 64 倍
ということになります。

あくまで上記の (A)(B) といった条件が与えられていることが前提です。