res(f(z),a) =res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2) ={1/(n+

res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①

の式に置いて、①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ、そしてz≠π/2の時は極を持たないと言う認識で正しいでしょうな？

質問者からの補足コメント

• >> ①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ
  
  に関して、仮に違う場合は、なぜ①はz=π/2の時、(n+2)位の極を持つのでしょうか？

    補足日時：2022/07/27 10:10

• 確認として、お聞きしたいことがあります。
  
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
  は間違った式で。
  
  正しい式は
  res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)f(z)
  あるいは、
  res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}で良いで大丈夫でしょうか？

    補足日時：2022/07/28 02:32

• 「f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  の時
  lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから
  
  f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  が
  z=π/2で(n+2)位の極を持つのです。」
  に関して
  
  極とは分母が0になるような時を表しますが、
  
  lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...①
  =lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)
  =-1
  として、①よりz=π/2で分母が0になるのは(n+1)位の時だと思うのですが、なぜ(n+2)位なのでしょうか？
  ①の中で最も値が高い指数が(n+2)であるため(n+2)位となるとかでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/28 03:58

• ありがとうございます。
  
  ちなみに、なぜf(z)=tan(z)に関するローラン展開を求めるのにres(f(z),π/2)はres(tan(z),π/2)ではなく、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)なのでしょうか？

    補足日時：2022/07/28 10:36

• すいません。
  
  res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
  
  について、疑問があるのですが、
  
  なぜ①のn-1やnを+2して、②のようにしてから、f(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入したのでしょうか？
  
  要は、なぜres(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ではダメなのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/07/29 03:19

• ありがとうございます。
  
  ちなみに、
  f(z)=tan(z)
  の時
  res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)としても
  ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と正しい式が導けるのはなぜでしょうか？
  
  また、
  f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n-1)
  a=π/2
  の時
  res(f(z),a)
  =1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
  としても、正しい式{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)が導けるのはなぜでしょうか？
  
  最後に画像の式の時は、k=1として、
  {1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)と導けるのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/02 04:12

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/27 10:59

違います

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)=lim_{z→π/2}tan(z)=∞に発散し
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
が
z=π/2で(n+2)位の極を持つのです

①が極を持つのではありません

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
が
z=π/2で(n+2)位の極を持つから

a=π/2
の時

res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今更で申し訳ないのですが、f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
が
z=π/2の時(n+2)位に極を持つとなぜわかったのでしょうか？

お礼日時：2022/07/27 22:17

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/27 16:40

これ、まだやってるの？ もう何回目の質問だろう。

これだけの回数質問して、多くの回答を得て、その結果
何ひとつ進歩したように見えないのは、ある意味スゴイとは思う。

＞ ①の式の中で最も値の高い指数は(n+2)であるため
＞ z=π/2の時、(n+2)位の極を持つ

話の方向が全く逆方向。
①の式がどうなっているから f(z) は z = π/2 に n+2 位の極を持つ
とか持たないとかではなくて、
f(z) が z = π/2 に n+2 位の極を持つから Res[f(z),π/2] が ① の式で表される。

さすがに、そろそろ Res[ , ] の定義は理解したんだろうね？

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/28 04:01

(極の定義)

f(z)とaに対して
lim_{z→a}(z-a)^(k-1)f(z)が発散し
lim_{z→a}{(z-a)^k}f(z)が収束する
とき
f(z)はz=aでk位の極を持つという
(極の定義)から

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)=lim_{z→π/2}tan(z)=∞に発散し
lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)=lim_{z→π/2}(z-π/2)tan(z)=-1に収束するから

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
が
z=π/2で(n+2)位の極を持つ
のです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに、確認として、お聞きしたいことがあります。

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は間違った式で。

正しい式は
res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}で良いでしょうか？

また、
他の回答者様から
「res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-　　π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)」
ともらったのですが、正しいのでしょうか？
仮に正しい場合はなぜn-1項を+2してからf(z)にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入したのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/28 06:08

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/28 08:55

＞ ①よりz=π/2で分母が0になるのは(n+1)位の時だと思うのですが、

＞ なぜ(n+2)位なのでしょうか？
＞ ①の中で最も値が高い指数が(n+2)であるため(n+2)位となるとかでしょうか？

だ、か、ら、① の式で極の位数が決まるんじゃなく、
極の位数が判ると ① の式が立てられるんだと言っているでしょう！

「極とは分母が0になるような時を表しますが」とか言ってるから間違えるんですよ。
極 c の位数は、 lim[x→c] (x - c)^m f(z) が有限になる最小の m です。
まあ、比喩表現としては「分母が0」でも当たらずとも遠からずなんだけど、
そういう言い回しで理解したいのなら、同時に
tan(z) の分母にも (z - π/2) があることを解っていないとね。

この回答へのお礼

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
として、

lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+1)f(z)
=lim_{z→π/2}tan(z) とした際に分母cos(π/2)は0に近づくが∞に発散する。

lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)sin(π/2)/cos(π/2)
とした際に分母cos(π/2)は0に近づき、なおかつ-1に収束するため、

z=π/2で、式「lim_{z→π/2}(z-π/2)^(n+2)f(z)」は(n+2)位の極を持つとわかった。

そして、π/2を含む(z-π/2)は(z-π/2)^(n+2)として、
res(f(z),a)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)f(z)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
と作れるわけですね。

正しいでしょうか？

お礼日時：2022/07/28 10:26

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/28 10:40

＞ なぜf(z)=tan(z)に関するローラン展開を求めるのに

＞ res(f(z),π/2)はres(tan(z),π/2)ではなく、
＞ res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)なのでしょうか？

知らんがな。
普通、ローラン展開を求めるのに、そんなやり方はしない。
以前から、 f(z) は何かとか a は何かとか n は何かとか
混乱しているようだけど、結局何をしようとしている？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/28 20:52

f(z)がz=aでn位の極を持つならば

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は正しいけれども
そうでなければ間違いです

res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}
は間違った式で

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
の時
res(f(z),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)^(n+2)f(z)}
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が正しい

f(z)=tan(z)
の時
res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2) ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)f(z)}
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が正しい

f(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n-1)
a=π/2
の時
res(f(z),a)
=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)^ntan(z)/(z-π/2)^(n-1)
={1/(n-1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n-1)(z-π/2)tan(z)
が正しい

この回答へのお礼

ありがとうございます。

res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
から
※g(z)=tan(z)/(z-π/2)と置くて、

lim[z->a](d/dz)(z-π/2)^2g(z)を導く事は出来ないでしょうか？

お礼日時：2022/07/28 23:04

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/28 21:02

tan(z)

の
0>|z-π/2|<π
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
とする
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
とすると

a(n)=1/(2πi)∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
となるから

a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

n=-1とすれば

a(-1)=res(tan(z),π/2)

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/29 20:46

＞ res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①

＞ ={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
＞ について、疑問があるのですが、

ほら、また。
① の n は f(z) が z=a に n 位の極を持つ... の n で、
② の n は f(z) = tan(z)/(z-π/2)^(n+1) という f( ) の定義に含まれる n。
全然違うものを、ひとつの式の中で同じ文字で表したら混乱するのは当然。
f( ) とか a とか n とかが何を表すのか確認しろって No.5 でも書いたんだけど？

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/29 21:41

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①

={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
は間違いです

res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
≠
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②

f(z)がz=aでn位の極をもつならば
res(f(z),a)=1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)...①
が成り立つけれどもそうでなければ間違いです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2でn+2位の極を持つから
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
が成り立つのです

①はn位の極の場合
②はn+2位の極の場合
だからnとn+2が等しくなるはずはないのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はz=π/2でn+2位の極を持つから

lim[z→π/2]tan(z)/(z-π/2)=∞に発散するから

1/(n-1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n-1)(z-a)^n tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=1/(n-1)!lim[z->π/2](d/dz)^(n-1){tan(z)/(z-π/2)}
=∞
に発散するからダメ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が極を持てるような時の式の時にa(n)の式にtan(z)/(z-π/2)^(n+1)を代入するとわかりました。

では、res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②以外の式はすべて∞になるわけでしょうか？

また、今回は使った式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)は極がありましたが、仮に「極が無い式」などの場合はa(n)の式自体は作れないわけでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/30 09:08

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/30 09:45

違います

式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)が極を持てるような時ではありません

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時いつでもz=π/2を(n+2位の)極にもつのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)がz=π/2でn+2位の極を持つから

res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)...②
が成り立つのです

tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≦-2の時z=π/2で正則で極を持たないからコーシーの積分定理から
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
の時
積分が
∫_{C}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=0
になるから

a(n)={1/(2πi)}∫tan(z)/(z-π/2)^(n+1)dz=0
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=0

a(n)=0
という
a(n)の式が作れるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今回の式tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はn≧-1の時いつでもz=π/2を(n+2位の)極に持っていましたが、どんな式にも必ず「極」を持ってはいるのでしょうか？

お礼日時：2022/07/30 09:56