外測度について

画像の定義3.3.5の[注]でX1=X'1, X'k=Xk-(X1∪…∪Xk-1)とおくとX=∪(k=1→∞)X'kとできる
とありますが、なぜこうなるかが分かりません
ご教授頂けますと幸いです
よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/12 08:37

ほぼ自明ですが。

任意のnについて
　Sn=∪[k=1,n]Xk , Sn'=∪[k=1,n]Xk'
とするとき
　Sn=Sn'・・・・・①
を言えばよい。

n=2のとき
　S₂'=X₁'∪X₂'=X₁∪(X₂-X₁)=X₁∪(X₂∩X₁^c)
　　=(X₁∪X₂)∩(X₁∪X₁^c)=(X₁∪X₂)∩(X)=X₁∪X₂=S₂
となり、成立。

S[n-1]=S[n-1]' を仮定・・・・②

　Sn'=S[n-1]'∪Xn'
　　　=S[n-1]'∪(Xn-S[n-1])・・・・・仮定②から
　　　=S[n-1]∪(Xn-S[n-1])

　　　=S[n-1]∪(Xn∩S[n-1]^c)

　　　=(S[n-1]∪Xn)∩(S[n-1]∪S[n-1]^c)
　　　=(S[n-1]∪Xn)∩(X)
　　　=S[n-1]∪Xn=S[n]

帰納法から①が成立。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
一部集合の展開で躓いていたのですが、自分の勘違いだと気づけました！
助かりましたm(_ _)m

お礼日時：2023/01/12 18:48

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/12 08:23

∀n ∪(k=1→n)Xk = ∪(k=1→n)X'k

は数学的帰納法で簡単でしょう。で、
　　∪(k=1→∞)Xk = ∪(k=1→∞)X'k
というのはつまり
　　∀x( ∃n(x∈∪(k=1→n)Xk)) ⇒ ∃m(x∈∪(k=1→m)X'k) )
だということ。もちろん
　　∀x∃n( (x∈∪(k=1→n)Xk)) ⇒ (x∈∪(k=1→n)X'k) )
が言えれば十分。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
量化子含めて説明して下さり助かりました！

お礼日時：2023/01/12 18:47