a(n-k)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を k=1と

a(n-k)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を
k=1として、
a(n-1)=(1/n!)lim_{z->c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)}

a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z->c}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-c)}
としてからcにπ/2を代入して
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z->π/2}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-π/2)}とした式と
画像の赤い下線部の式は同じ式でしょうか？

画像の式は(d^(n+1)/dz)^(n+1)となっていますが。

仮に同じ式の場合は同じ式であることを証明していただけるとありがたいです。

質問者からの補足コメント

• 画像のローラン展開はn≧-1の時z=1(a(n)=-1/(-2)^(n+2))とn≦-2の時z=-1(a(n)=1/(-2)^(n+2))のどちらかの場合でのローラン展開なのでしょうか？

  
    補足日時：2023/01/31 10:06

• 今更で申し訳ないのですが、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開において、積分経路は|z-1|=rと置けるのでしょうか？
  すなわち、ローラン展開において、積分経路が|z-a|=rと置ける理由が知りたいです。

    補足日時：2023/01/31 13:48

• 編集
  
  今更で申し訳ないのですが、
  質問が4つあります。
  
  1.
  なぜf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開において、積分経路は|z-1|=rと置けるのでしょうか？
  
  すなわち、積分経路が|z-a|=rと置ける理由が知りたいです。
  
  
  2.
  f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の場合わけで、
  r<|z-1|の場合がないのなぜでしょうか？
  
  3.
  過去のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の場合わけ
  i) 内側 |z-1l<r<2や
  ii) |z-1|<r>2により、正則を含むこともあれば含まない事もあるとわかりました。
  
  ですが、画像の0<|z-a|<rについては、
  どのようにしてローラン展開の公式を導く上で0<|z-a|<rと作れた(導けた)のかわかりません。
  
  4.
  画像に、なぜr<|z-a|の場合わけがない理由も知りたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/01/31 14:18

• 補足で申し訳ありません。
  
  念の為にお聞きしたいのですが、
  なぜ画像の青い四角の部分は
  紫の四角の部分であるres(◯,□)の○の位置に入るのでしょうか？
  
  定義だからとかではなく理由を教えて頂きたいです。
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/02/02 17:15

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/02 17:24

それが関数Resの定義だからです

Res(g(z),a)=def={1/(2πi)}∳_{|z-a|=r}g(z)dz
と関数Resを定義したのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確か、Res(g(z),a)=def={1/(2πi)}∳_{|z-a|=r}g(z)dzと定義する事で矛盾なく計算出来るとの事でした。

お礼日時：2023/02/02 18:17

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/02 11:26

f(z)=1/(z^2-1)

を
z=-1を中心とする領域でローラン展開する場合は

-1を中心とする半径rの円周上の点zは

zと(-1)の距離は|z-(-1)|でそれが半径rに一致するのだから

|z-(-1)|=|z+1|=r

となるzだから

|z+1|=rとなるすべてのzの集合

C={z||z+1|=r}

は-1を中心とする半径rの円周上の点の集合を表す

f(z)
は
C={z||z+1|=r}
で
正則でなければならないから

C={z||z+1|=r}
は
特異点　-1を含まないから
|z+1|=r　のとき
z≠-1
r=|z+1|≠0だから
r≠0
0≦|z+1|=r
だけれども
r≠0だから
r>0

C={z||z+1|=r}
は
特異点　1を含まないから
|z+1|=r　のとき
z≠1
r=|z+1|≠2
だから
r≠2だから
0<r<2

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/01 16:57

f(z)=1/(z^2-1)

は
0<|z-1|<2
で
正則だけれども
z=1では正則ではありません
だけれども
0<|z-1|<2
で
正則だから
0<|z-1|=r<2
で
ローラン展開できて、それは
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)={1/(2πi)}∫_{{z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
a(n)={1/(2πi)}∫_{{z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2のとき
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
0<|z-1|<2
でも
z=1
でも正則だからa(n)=0
だけれども

n≧-1のとき
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
は
0<|z-1|<2
で
正則だけれども
z=1では
正則でないから
a(n)≠0
です

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/01 16:41

f(z)

の
z=aを中心とするローラン展開においては,

積分経路はz=aを中心とする単純閉曲線(円周)で
単純閉曲線(円周)上
|z-a|=r
となるすべてのzに対して
f(z)は正則でなければなりません

|z-a|=r
となるすべてのzに対して
f(z)は正則でなければ
|z-a|=r
となるzに対して
f(z)は積分できないのです

|z-a|=r
となるzに対して
f(z)はzは特異点であってはならないのです

|z-a|=r
となるzに対して
f(z)の積分の値は
その内側
|z-a|<r
に
特異点があるかどうかによって決まるのです

|z-a|=r
となるzに対して
f(z)はzで正則で
その積分経路でない内側
|z-a|<r
には特異点があってよいのです

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 21:23

4.

画像
には
0<|z-a|<r
ではなく
0<|z-a|<R
と書いてあるから
r<|z-a|はありません

0<|z-a|<R
で
f(z)が正則というのは
条件なのです

f(z)がどこで正則なのかという条件が必要なのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「補足日時2023/01/31 10:06
の
画像のローラン展開は

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1の周り0<|z+1|<2での展開
iii)0<|z+1|=r<2」
について、
近似としてz→-1を満たすが、
内側0<|z+1|=r<2としてはz=-1を満たしてはいないため、
以上より内側iii)0<|z+1|=r<2、z=-1の時、
正則ではないためローラン展開できたとわかりました。




「f(z)
の
z=aを中心とするローラン展開においては,

積分経路はz=aを中心とする単純閉曲線(円周)で
単純閉曲線(円周)上
|z-a|=r
となるすべてのzに対して
f(z)は正則でなければなりません」

について、
なぜ正則でなければならないのでしょうか？

と言うのも、ローラン展開は特異点で展開するため、特異点ではない点、すなわち正則になるような点でローラン展開したらa(n)=0となり、ローラン展開出来ないと思ったためです。




3の解答について、
「f(z)=1/(z^2-1)
は
0<|z-1|<2
で
正則だから
0<|z-1|<2
で
ローラン展開できるのです」
と頂きましたが、
正則だとa(n)=0になりローラン展開出来ないと思うのですが。




2の解答の|z-1|>rの場合については、
内側|z-1|>rがz=1の時より0>rとなり、
半径rが0より小さくなるのはありえないため、|z-1|>rの場合はないとわかりました。
(z=-1の時、|z-1|>rは2>rとなるが、
他の場合わけのi)の内側 |z-1l<r<2に含まれているようなものなので、|z-1|>rの場合はない。)


どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/02/01 09:36

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 21:10

3.

画像は
0<|z-a|<r
ではありません

0<|z-a|<R
です

「
f(z)
は
0<|z-a|<R
で
正則
」
という条件がついているから

f(z)
は
0<|z-a|<R
で
ローラン展開できるのです

f(z)=1/(z^2-1)
は
0<|z-1|<2
で
正則だから
0<|z-1|<2
で
ローラン展開できるのです

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 21:01

2.

f(z)=1/(z^2-1)の
z=1を中心とする
ローラン展開の場合わけは
i)
0<|z-1|<2
ii)
|z-1|>2
の
2通りです

|z-1|=r
は
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
の
積分経路なのです

g(z)の|z-1|=rでの積分の値は
|z-1|<r に　g(z)の特異点があるかどうかによって決まるので
|z-1|>r には無関係なのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 20:54

1.

f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開において、
積分経路は|z-1|=r
とおけません

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1を中心とするローラン展開においては,
積分経路は|z-1|=r
とおけません
積分経路は|z+1|=r,(0<r<2)
となります

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1を中心とするローラン展開においては,
積分経路は|z-1|=r
とおけません
積分経路は|z+1|=r,(0<r<2)
となります」

については、f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の
i) 0<r<2でのn≧-1やn≦-2の場合わけでは
z=-1を中心とするローラン展開の場合わけはないため、積分経路|z+1|=r,(0<r<2)は登場はしませんでしたが、

2023.1.31 20:34に頂いた
「f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1の周り0<|z+1|<2での展開
iii)0<|z+1|=r<2」...(E)
のように
f(z)=1/(z^2-1)
について
z=-1を中心とするローラン展開する場合が積分経路は|z+1|=r,(0<r<2)となる
のだとわかりました。

ちなみに、
z=-1を中心とするローラン展開する(E)の場合に関して、
なぜ|z+1|=rと作れて、0<|z+1|=r<2と範囲を作れたのでしょうか？

お礼日時：2023/02/02 02:02

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 20:49

無条件には

f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開において、
積分経路は|z-1|=r
とおけません

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=1を中心とするローラン展開においては,

積分経路はz=1を中心とする単純閉曲線(円周)で
単純閉曲線(円周)上でf(z)は正則でなければなりません
だから
(円周)は
|z-1|=r となる　すべてのzの集合
{z||z-1|=r}
だから
|z-1|=r となる　すべてのzに対して
f(z)は正則でなければならない
0<r<2
または
r>2
でなければならない

無条件には
f(z)のローラン展開において、
積分経路は|z-a|=r
とおけません

f(z)
の
z=aを中心とするローラン展開においては,

積分経路はz=aを中心とする単純閉曲線(円周)で
単純閉曲線(円周)上
|z-a|=r
となるすべてのzに対して
f(z)は正則でなければなりません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/31 20:34

補足日時2023/01/31 10:06

の
画像のローラン展開は

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1の周り0<|z+1|<2での展開
iii)0<|z+1|=r<2
なので

過去に何度も書いた
z=1の周りでの展開
i)0<|z-1|=r<2
ii)2<r=|z-1|
のどちらでもありません