動摩擦力の問題です。

平面上にＡＢを底辺とした、∠Ａがθ∠Ｂが９０°∠Ｃに滑らかな滑車をつけた
直角三角形ＡＢＣの台があります。動摩擦係数をμとした斜面ＡＣ上に質量が
Ｍの物体Ｐを置き、それに質量を無視した糸をつけ、滑車にとおし、他端に質量
ｍの物体Ｑをつなげ、鉛直につり下げます。はじめ、物体Ｐを手で抑え、そして
放すと物体Ｐは滑り落ちた。このとき、重力加速度をｇとすると滑る物体Ｐに
働く、摩擦力はいくらか？　という問題です。回答は…
Ｆ＝μＭｇｃoｓθ　
と、なっているのですが、私は、物体Ｑ(糸)が角度θ方向にｍｇで引くので、
物体Ｐに鉛直上向きにその分力のｍｇｓiｎθが働き物体Ｐの重力が
Ｍｇ－ｍｇとなり、回答は…
Ｆ＝μ(Ｍｇ－ｍｇ)ｃoｓθ　　
と、考えました。
私はこの考え方のどこで間違ったか気づきません。どなたか分かりやすいように
解説してください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： dyadics13 回答日時： 2001/09/13 10:07

斜面方向と、斜面と垂直な方向に直交座標を取って、

物体Ｐの運動方程式を作ってみましょう。

まず斜面方向の運動方程式は、
物体Ｐには自重の斜面方向の成分と
物体Ｑの重さと摩擦力が働きますので、
物体Ｐの加速度をα1、動摩擦力F、
斜面下向きを正とすると次のようになります。

斜面方向：Mα1 = Mg sinθ - mg - F　式１

次に斜面に垂直な方向を考えると、
物体Ｐには自重の斜面垂直成分と、
斜面からの垂直抗力Nが働きますので、
このときの加速度をα2、三角形ABC内部から
外向きを正とすると運動方程式は
次のようになります。

斜面垂直方向：Mα2 = N - Mg cosθ (= 0)　式２

斜面垂直方向には三角形の斜面で束縛されていて
運動しませんから、式２は０と置け、垂直抗力Nは

N = Mg cosθ　式３

となります。
動摩擦力Fは垂直抗力のμ倍ですから、式３より

F = μ Mg cosθ　式４

となります。

式１と式２を見比べればわかるように、
物体Ｑの重さは物体Ｐに対して斜面方向にしか
働きません。摩擦力に関係する垂直抗力には
物体Ｑの重さがかからないので、
結局摩擦力は式４のように表されます。

しっかりと運動方程式を組み立てれば
この手の問題は理解できるものと思います。

この回答へのお礼

これから、勉強して頑張ります。
有り難うございました。

お礼日時：2001/09/14 20:18

No.3 回答者： dyadics13 回答日時： 2001/09/14 12:50

少し補足します．

＞物体Ｑ(糸)が角度θ方向にｍｇで引くので、
＞物体Ｐに鉛直上向きにその分力のｍｇｓiｎθが
＞働き物体Ｐの重力がＭｇ－ｍｇとなり

この部分で思考の飛躍があるようです．
「何が」，「何に対して」，「どのように」働くのか
ということを段階的に整理して考える必要があります．

siroyagikuroyagiさんの考え方は，物体Pの重力を考える時に
物体Qによる外力を含めてしまったので答えが
正しくなくなったのです．ここでは「自重」と「外力」を
きちんと分けて考えなければならないのです．

物体Pの重力は（慣性系において）あくまでMgです．
この条件の場合，物体Pの重力はいかなる外力が
働こうとも小さくなったり大きくなったりしません．

No.2 回答者： brogie 回答日時： 2001/09/13 22:53

あなたが疑問に思っていることについて答えます。

＞回答は…
＞Ｆ＝μＭｇｃoｓθ　
＞と、なっているのですが、
これは正解です。

＞私は、物体Ｑ(糸)が角度θ方向にｍｇで引くので、
＞物体Ｐに鉛直上向きにその分力のｍｇｓiｎθが働き
ここが間違いです。物体Qは糸の張力として働いていますから、その糸の向きで、上向きです。

＞物体Ｐの重力が
＞Ｍｇ－ｍｇとなり、
物体Mに働く力は重力Mg、斜面からの法抗力N、摩擦力μNと糸の張力mgです。
N＝Ｍｇｃoｓθですから、
摩擦力はμＭｇｃoｓθです。
滑り落ちていますから、摩擦力は運動方向の反対向きの上向きです。

運動方程式は斜面方向について（下向きを正に）
Ma＝Mgsinθ-Mgcosθ-mg
です。

この回答へのお礼

これから、勉強して頑張ります。
有り難うございました。

お礼日時：2001/09/14 20:22