写真の問題の(2)についてですが、「OHベクトルがuベクトルと垂直」という関係をもとに解いていますが

写真の問題の(2)についてですが、「OHベクトルがuベクトルと垂直」という関係をもとに解いていますが、
仮に「OHベクトルとt倍のuベクトルが垂直」という関係を使うと、t=-(a+2/3)の他にt=0という解が出てくると思いますが、t≠0だから、uベクトルでもt倍のuベクトルどちらを用いても答えは変わらないと思いますが、なぜt≠0なのでしょうか？

写真: https://d.kuku.lu/ubduajkka

No.1 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/26 15:22

冷静に、t=0だと仮定した場合の、貴方が書いた文章を読み返してください。

OHベクトルと0倍のuベクトルが垂直

0倍のuベクトル、つまり0ベクトルですけど、0ベクトルって比較する数学的な意味がありますか？？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
t=0の時uベクトルが0ベクトルになってしまうことから、t=0は不適だと思いますが、今回はOHベクトルがlと垂直になるときのHの座標を求めていますが、(1)よりOH=OA+tuと表せることから、t=0のときは OH=OAとなることから、ＨはAと一致することを表している。つまりOAとlが垂直なら、t=0の可能性もあるのではないのでしょうか？

お礼日時：2023/08/26 15:52

No.2 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/26 16:19

貴方の論理が正しい場合、OAベクトルとuベクトルの直交性からa=-2と計算できます。

a≧1という条件が成立しませんが…

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
改めて頭を冷やして整理したところ、t=0ならOH= OAとなりますが、そもそもOHベクトルと「tuベクトル」の関係を使おうとしてる時点で、t=0だったら「点(0ベクトル)とOAベクトルが垂直である」という「点と垂直」というわけのわからない条件になってしまうということに気づきました。

お礼日時：2023/08/26 17:30

No.3 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/08/26 17:48

そうですね。

実は私が一度回答しようとして消したのは、aの条件の議論ではなく、0ベクトルのなす角の計算に関する議論でした。
もうおわかりだと思いますが、cosineの定義式の分母が常に0となるため、計算できない、言い換えると存在しない概念となるのです。

ちなみに、点以外のn次元空間同士の配置に関する議論は、大学初等過程の線形代数学で学びます。

大学受験に向けては、さしあたり、数学の定義に疑問を抱かず、素直に問題文の条件の見落としなどがないかを気にして解くようにしてみてください。定義に疑問を抱くと、時間が幾らあっても足りなくなりますから。

頑張ってください。応援しています。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/27 14:17

写真の解答(2)では、

「ベクトルOHがベクトルuと垂直」という関係をもとに解いています。
あなたの言う「ベクトルOHがベクトルuのt倍と垂直」という関係は
「ベクトルOHがベクトルuと垂直」という関係を含んでいますが、
あなたの言うとおり「t=0」も含んでしまっているため
この2つの条件は同じではありません。
「ベクトルOHがベクトルuと垂直」を
「ベクトルOHがベクトルuのt倍と垂直」に言い換えるのならば、
「t≠0」という条件を添えてはじめて同値になります。
条件を同値でなく言い換えてしまったら、
異なる問題を解いたことにしかなりません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。「へのへのもへへ」さんのお礼にて、「t=0だったら、点とOAが垂直という条件になるからおかしい」というように、解釈して解決したものだと思ったのですが、へのへのもへへさんの回答で「貴方の論理が正しい場合、OAベクトルとuベクトルの直交性からa=-2と計算できます。a≧1という条件が成立しませんが…」と書かれていますが、もしa≧1という条件がなければt=0も適するのでしょうか？

お礼日時：2023/08/28 14:45

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/29 01:15

＞ 「t=0だったら、点とOAが垂直という条件になるからおかしい」

おかしくないよ。
ベクトルどうしが垂直であることの条件は、内積が 0 になることだから、
零ベクトルは全てのベクトルと垂直。そこには何の問題も無い。

それに従うと、「ベクトルOHがベクトルuのt倍と垂直」という条件は
「(ベクトルOHがベクトルuと垂直)または（t=0)」と同値になるから、
「ベクトルOHがベクトルuのt倍と垂直」には「かつ(t≠0)」を添えないと
問題に与えられた「ベクトルOHがベクトルuと垂直」とは同値にならない。

「t≠0」を添えない答案は、問題の条件を正しく使っていないことになる。
それだけの話。

この回答へのお礼

前回と似たような返信になりますが、
もし、問題文にa≧1という範囲がない場合についてですが、
t=0のとき、OHベクトル(t=0の場合、条件よりOHベクトルはOAベクトルになる)と直線lが垂直であることを示すとき、t倍のuベクトルを用いた場合、「OH(OA)ベクトルと0ベクトルが垂直」という関係になりこの関係はOH(OA)ベクトルがlと垂直ということを表せていないから、t=0の時は「OH(OA)ベクトルとlと平行なuベクトルが垂直である」という関係に使い直す？ということですか？

お礼日時：2023/08/29 09:55