因数分解の質問をさせて頂きますm(_ _)m

()の形に分ける際、どう分けるべきかよく分かりません。。
例えば、
a²b－ab²－a+b
＝ab(a－b)－a+b
＝ab(a－b)－(a－b)
＝(a－b)(ab－1)
この問題では、ab(a－b)－(a－b)の－(a－b)という部分の、()の前に係数1が隠れている事が分かります。
その係数1を()の外に出ているabとを()で
まとめて、(ab－1)とします。
()外にあるもの同士を()にまとめるという覚え方をしています。
ですが、この覚え方だと、
2xy²+y－2x－3xy－2
＝(2y²－3y－2)x+(y－2)
＝(y－2)(2y+1)x+(y－2)
＝(y－2)の()の前にある係数1とxを()にまとめて(x+1)(y－2)(2y+1)になってしまい、
正解とは違う答えを導き出してしまいます。
{(2y+1)x+1}の形を導き出すのは、何故かよく分かりません。
それと、{(2y+1)x+1}を、(2xy+x+1)とする理由も知りたいです。
分配法則であれば、xを分配するので(2xy+x)となり、1は入りません。余ったものを()内に入れたということでしょうか?
拙い文章をお読み頂きありがとうございますm(_ _)m
お分かりの方、教えて頂けると幸いです。

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2023/10/21 15:58

「最高次数が低い文字の多項式にする」という考え方があります。

a²b－ab²－a+b はどちらも最高次数が ² なので、
どちらでまとめても大丈夫です。

2xy²+y－2x－3xy－2 については、
xの最高次数が ¹ 、ｙの最高次数が ² となっているので、
２行目の(2y²－3y－2)x+(y－2)という式にすると、
yだけの式が出来て、残りの因数分解を考えやすくなります。


｛｝を使わない詳しい理由は分かりませんが、
（）だけの式で完了させておけば、減点の対象にはなりません。

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/10/21 16:05

何か、『公式』とか式の形にこだわりすぎて

本質を見失っている気がします。

ab(a－b)－(a－b)
＝(a－b)(ab－1)

これ、やっていることは何ですか？
カッコの外をまとめる、と言うことではなく
もっと本質的なことです。

ab(a－b)と(a－b)には
『ａ－ｂという共通の項があるから、それをくくりだしている』
ということをしているわけです。そのとき、
ab(a－b)はabかけるａ－ｂなので、ａ－ｂをくくりだせばabが残ります。
(a-b)のほうは1かけるａ－ｂということなので、a-bをくくりだすことで
１が残る。
だから
ab(a－b)-(a-b)=(a-b)(ab-1)
という計算になる。

次の問題
(y－2)(2y+1)x+(y－2)
やることは何ですか？
共通項である(y-2)をくくりだすことでしょう？
だから先と同じように考えて
(y－2)(2y+1)x+(y－2)
＝(y-2){(2y+1)x+1}
になる。

最後は
(2y+1)x+1
＝(2xy+x)+1
＝2xy+x+1
これだけの話。中カッコがあるからややこしくなっているだけなのでは？
分配法則という言い方をすれば確かにそうですが、いちいちそんな法則
を引き合いに出す必要はなく、『計算すればいいだけ』。
分配法則というものにとらわれすぎて、式の形だけ追ってしまい
本質的に何をしているのかを見失っている気がします。
あなたが言っていた『()外にあるもの同士を()にまとめるという』
というのもそう。形にとらわれすぎて、実際にどういうことを
しているのかというも一番大事なところが置き去りになっていると
思います。

ここでは何をしているのか、という本質的なところを
きちんと理解することです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/21 17:18

分配法則

(y-2)(2y+1)x+(y-2)

A=y-2
B=(2y+1)x
C=1
とすると

=AB+AC
=A(B+C)
=(y-2){(2y+1)x+1}

No.4 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2023/10/21 17:42

ひょっとして掛け算と割り算は足し算と引き算より先に計算（優先度が高い）ことを忘れていませんか？(y-2)でくくった残りは(2y+1)xと1との足し算になります。

だから{(2y+1)x+1}になり掛け算を先にすると(2xy+x+1)です。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/21 19:30

前回の質問に、「分配法則を使え」って回答したと思うのですが...

式を変形するにはルールがあり、好き勝手に書き換えて良いわけではありません。
使ってよい変形規則のひとつに、「分配法則」があります。
A(P + Q) = AP + AQ, (P + Q)A = PA + QA というものです。
これらの式は、A,P,Q の値が何であっても成り立ちます。

A(P + Q) = AP + AQ を A = (y-2), P = (2y+1)x, Q = 1 で使うと、
(y-2)(2y+1)x + (y-2) = (y-2)(2y+1)x + (y-2)1
　　　　　　　　　= (y-2)( (2y+1)x + 1 )
と変形できます。

(y-2)(2y+1)x + (y-2) = (y-2)(2y+1)(x+1) にはならないことは、
逆に
(y-2)(2y+1)(x+1) = (y-2)(2y+1)x + (y-2)(2y+1)1
　　　　　　　　= (y-2)(2y+1)x + (y-2)(2y+1)
　　　　　　　　≠ (y-2)(2y+1)x + (y-2)
と展開してみれば判りますね。

最後に
( (2y+1)x + 1 ) = ( 2yx + 1x + 1 )
　　　　　　　= ( 2xy + x + 1 )
と変形してあるのは、式を整理するとき
括弧の入れ子があまり好まれない傾向があるからです。
ここで使われている (2y+1)x = 2yx + 1x も、分配法則ですね。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2023/10/22 00:20

質問文の中にある「()外にあるもの同士を()にまとめる」と言う覚え方自体が根本的に間違っています。

因数分解の過程でそんな事はやっていません。実際にやっているのは「共通の因数でくくり出す」と言う事です。例えば最初に書いてある

a^2b-ab^2-a+b

を因数分解する問題であれば、3番目の式から4番目の式に変形する過程で行っているのは、質問文にある「その係数1を(中略)abとを()でまとめて(ab-1)と」する事ではなくて「最初の項と次の項との共通の因数であるa-bでくくり出す」と言う事です。ab-1と言うのはあくまでもそのくくり出しを行った結果としてたまたま出て来るだけです。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/10/23 12:09

a²b－ab²－a+b　＝ab(a－b)－a+b　　においては

＝ab(a－b)－(a－b)
ここで　a-b=c とおいてください　すると
=abc - c
=abc - 1・c
=c (ab-1) ここで　c=a-b だから
＝(a－b)(ab－1)

2xy²+y－2x－3xy－2　＝(2y²－3y－2)x+(y－2)
＝(y－2)(2y+1)x+(y－2)
ここで　y-2=z とおけば
=z(2y+1)x +z
=1・z(2y+1)x +z とおいてもこれ以上すすみません！
1とxは同じ項にあり　１・x=x であって　1+x でないのは明らか！
よって (x+1)(y－2)(2y+1) にはなりません！
=z(2y+1)x +1・z
=z{(2y+1)x +1}
=(y-2){(2y+1)x +1}

また　分配法則は　(2y+1)x +1　において
(2y+1)x だけに適応されるので　
(2y+1)x =2yx +1・x=2xy+x
(2y+1)x 　と　+1　は別物なので　あまり ではありません！故に
(2y+1)x +1=2xy+x+1

どうも数学を理解しないで暗記だけで覚えていて　数学的な考えにならないのだと思います
(2y+1)x =2yx +1・x　→　2xy+x　この部分も１・x=xを使っているのに
疑問もなく　逆の場合には疑問とは！？