第2問の（2）で質問なのです。 cosθ（sinθ＋r^2cos^2θ）まででたのですが、ここからど

第2問の（2）で質問なのです。
cosθ（sinθ＋r^2cos^2θ）まででたのですが、ここからどうすれば良いのですか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/07 20:37

(x, y) = (r cosθ, r sinθ) で変数変換すると

(xy + x^3)/(x^2 + y^2) = cosθ（sinθ + r^2 (cosθ)^2）
というとこまではでたのですね。

あとは、(x,y)→(0,0) の極限をとればよいのですが、
重極限というのは (x,y) が (0,0) へ近づく際に途中どんな経路を通ってもよいので
(x,y) = (r cosθ(r), r sinθ(r)), r→0 という経路を考えてみます。
とりあえず、θ(r) は連続ならどんな関数でもよいとしておきましょう。

すると、lim[(x,y)→(0,0)](xy + x^3)/(x^2 + y^2) が収束するならば
lim[r→0] cosθ(r)（sinθ(r) + r^2 (cosθ(r))^2） も収束して極限は一致する
ことになります。

lim[r→0] cosθ(r)（sinθ(r) + r^2 (cosθ(r))^2） = cosθ(0) sinθ(0) ですから、
θ(r) が任意の関数では、この極限は一定の値に定まりません。
よって、問題の lim[(x,y)→(0,0)](xy + x^3)/(x^2 + y^2) は収束しません。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/07 17:43

「(x,y)→(0,0)の極限が存在する」というのは、「(x,y)がどんな経路を通って(0,0)に近づいても、同じ極限値に行き着く」ってことです。

さもなければ極限はない。
　で、ご質問のように x=r cosθ, y= r sinθ と変換して「ある固定された方向θから(0,0)に近づく場合」を検討すると、
　lim[r→0] (cosθ（sinθ＋(r cosθ)^2)) = cosθ sinθ
となるから、方向θによって極限値が異なることが分かる。だから極限はない。
　必ずしも極座標変換しなきゃならんわけではありません。例えば、x=0の場合のy→+0とy→-0を比べてみたり、同様にx=yの場合、y=0の場合、x=-yの場合、とかをチェックしてみれば、極限値が一致しないことがしばしば発見できます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/07 16:27

θに無関係にr→0で同じ値に収束しないから

極限は無いってことでしょう。
2変数ならよくあること。