大学数学 解析

lim[n→∞]a_n = 0のとき、

lim[n→∞]　(a1 + a2 + ・・・　＋a_n)/n =0

を示せという問題がわからないので教えていただけると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/11/15 14:58

これはε-δ論法でしか証明できないよくある例です。

https://rms2005.org/subtext_data/pdf/0010_dr8N/m …

P17、 3.7項

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2023/11/15 18:32

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/16 11:20

lim[n→∞]a_n = 0

任意のε>0に対して
ある自然数n_0が存在し
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a_n|<ε/2
n_1>n_0+2Σ_{k=1～n_0}|a_k|/ε
となる自然数n_1がある
n>n_1となる任意の自然数nに対して

n>n_1>n_0
n>n_1>2Σ_{k=1～n_0}|a_k|/ε
ε/2>Σ_{k=1～n_0}|a_k|/n

|Σ_{k=1～n}a_k|/n
≦Σ_{k=1～n}|a_k|/n
=Σ_{k=1～n_0}|a_k|/n+Σ_{k=n_0+1～n}|a_k|/n
<ε/2+(n-n_0)(ε/2)/n
<ε/2+ε/2
=ε

だから
∴
lim_{n→∞}|Σ_{k=1～n}a_k|/n=0