「16乗して1になる複素数は全部で16個あり、それらはcos(2π×k)/16+i(2π×k)/16 (k=0,1,・・・・、15)
と表される。このうち16乗して初めて1となる複素数の個数をnとし、それらをz1、z2、 ・・・、znとすると、
n=□
z1+z2+・・・・+zn=□
z1z2・・・zn=□
(1-z1)(1-z2)・・・(1-zn)=□
である。」
という問題について
解答の記載において、
「16乗して初めて1になる8個の複素数z1、z2、・・・、z8はz^8+1=0の解である。
したがって、
z^8+1=(z-z1)(z-z2)・・・(z-z8)・・・・①
が成り立つ。①の右辺を展開したときのz^7の係数と定数項を、左辺のz^7の係数と定数項と比較して
z1+z2+・・・・+z8=0
z1z2・・・・z8=1」
という部分があるのですが、①のように因数分解できる過程とz^7の係数が0になる導き方を教えてください。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
例えば
x²-4x+3=0
の解を、解の公式とか感で求めてみると
x=1、3
ですよね
また解、x=1とx=3を持つ二次方程式は
(x-1)(x-3)=0
ですから、
x²-4x+3=0の解がx=1、3と聞いただけで
x²-4x+3=(x-1)(x-3)
と変形できることは、既に身につけていると思います…
この、問題でも同じ要領です
やっつの解、Z=Z₁〜Z₈を持つ方程式は
(Z-Z₁)(Z-Z₂)…(Z-Z₈)=0…A
また、同じ8つの解を持つ方程式が
Z⁸+1=0…Bでもあるなら
B左辺はA左辺のように因数分解できるというわけです
次に
(x+1)(x+2)(x+3)のx²の項の計算の仕方です
すべて展開せずに計算するには
左と真ん中の()からは、それぞれxを選び
右の()からは3を選んで掛け算すると
3x²ができる
左からx、真ん中から2、右からxを選んで掛け算すると、2x²ができる
左から1、真ん中と右からはxを選んで掛け算すると、1x²ができる
トータルで6x²ができる
→その係数は1+2+3=6と求められる
この問題でも同じ要領で
A式の8つの()のうち7つからZを選んで…
と言うように計算していくと
Z⁷の係数は
Z₁+Z₂+…+Z₈だとわかります
そしてBはAのように因数分解でき
BのZ⁷項がないことから
Z⁷の係数は0に等しく
Z₁+Z₂+…+Z₈=0
だと言うことになります
No.4
- 回答日時:
kは1と16と互いに素なものだから
k=1、3、5、7、9、11、13、15
全部奇数なので
(z_k)^8=cos(πk)+isin(πk)=-1
で8個だから、z_kはz^8+1=0の解
因数定理より①が成り立つ。
①をバラシて係数比較すると
7次の項は
-z_0-z_1-・・・-z_8=0
7次係数は地道に分配法則で考えるだけ。
次数が7になる掛け合わせは8個しかないのが簡単に分かる筈だけど、わからなければいちど全部書き下してみよう。手を動かせば知りたい部分がどうなるか直ぐにわかるようになりますよ。何事も修練です。
No.2
- 回答日時:
f(z)=z^8+1
とすると
k=1~8に対して
z_k
は
f(z)=0
の
解だから
f(z_k)=0
因数定理
{
f(z)を(z-z_k)で割った商をg_k(z),余りをr_kとすると
f(z)=g_k(z)(z-z_k)+r_k
↓z=z_kとすると
f(z_k)=r_k
↓f(z_k)=0だから
r_k=0
f(z)=g_k(z)(z-z_k)
}
から
f(z)は(z-z_k)で割り切れるから
f(z)=z^8+1は
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
で割り切れるから
z^8+1=g(z)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
となるg(z)がある
f(z)=z^8+1 は8次式
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
も8次式だから
g(z)=c (定数0次式)
f(z)=z^8+1のz^8の係数は1
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
のz^8の係数も1だから
g(z)=c=1
∴
z^8+1=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
左辺の
z^8+1=z^8+0×z^7+1
のz^7の係数は0だから
右辺
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
のz^7の係数
-(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6+z_7+z_8)
も0にならなければならない
No.1
- 回答日時:
まず 16=2^4 だから, 「16乗して 1 になる」複素数は「8乗して 1になる」か「8乗しても 1 にならない」かのどちらかでしかなく, 後者であれば自動的に「16乗して初めて1」だ.
そして, z^16-1 = (z^8-1)(z^8+1) に気付こう.
あとは... 「展開してみろ」とか「因数定理」とか.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 数学 京都大学教授が証明。 「ABC予想・宇宙際タイヒミューラー予想」を、ザックリで説明お願致出来ますか? 1 2022/04/11 20:52
- 数学 x^p-1=(x-1)(x-ζ)(x-ζ^2)・・・(x-ζ^p-1)と複素数の中で因数分解できる理 1 2022/11/23 14:59
- 数学 方程式 √x=-1 の解 2 2022/07/08 17:26
- 数学 【 数A 自然数の積と素因数の個数 】 2 2023/03/02 23:58
- 数学 双子素数とゴールドバッハ予想と解けました、フィールズ賞貰えますか? 2 2023/09/27 05:03
- 数学 再度質問失礼します。 複素数の極表示 z=a+ib=re^iθ z*=a−ib=re^−iθ 1.a 2 2022/05/01 18:33
- 数学 数学の複素数の証明問題です。 (1)複素数全体の集合に2要素間の実数と同様な大小を定義できないことを 2 2022/08/28 11:17
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 化学 化学基礎 イオン反応式 Al + H+ →Al3+ + H2 回答 2Al + 6H+ → 2Al3 1 2022/11/27 20:10
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術
中・小規模の店舗やオフィスのセキュリティセキュリティ対策について、プロにどう対策すべきか 何を注意すべきかを教えていただきました!
-
−2.5を四捨五入すると−2ですか?−3ですか?
数学
-
数学の質問です loge 3=1.1になる成り行き教えて欲しいです
数学
-
『3ℓと5ℓで8ℓ』
数学
-
-
4
ピタゴラスの定理は辺の長さが虚数でも成り立ちますか
数学
-
5
答えがマイナスになる理由が分からないです
数学
-
6
大学入試の数学で、解答を進めていった結果2次方程式を解かなければいけなくなった時に、たとえばx^+x
数学
-
7
数学記号で→の左に台のように上下に斜めに枝分かれしてるのは何を表しているのでしょうか?またそれが二重
数学
-
8
数学の微分でわからないところがあります
数学
-
9
数3の複素数のことです。 αとβという複素数があり、|α|=|β|=|α−β|=1であるとき、2β−
数学
-
10
2x^3+x^2-9を有理数の範囲内で因数分解しろという問題で、これは(2x-3)を因数に持つという
数学
-
11
外積の記号について 外積の記号には一般に「×」が使われると思います。 1部の書籍やwebサイトなどで
数学
-
12
なぜx軸と平行な直線を検討しないのでしょうか
数学
-
13
0を0 乗すると答えは1ですか 考え方を文章で簡単に解説 お願いします
数学
-
14
0+1=∞
数学
-
15
円周率=∞の証明
数学
-
16
数学I アホらしい質問なのでそんなこと考えることは無駄などの解答は受け付けておりません。 また自分的
数学
-
17
工学部の電気で役に立つ数学の分野は
数学
-
18
(1+x)の5乗=1.20 の、解き方を教えて下さい。 エクセルでもかまいません。 対数の底? 底は
数学
-
19
高校数学 この問題で、両辺を二乗した式においてD>0の条件が使えないのにD=0の条件は使える理由を教
数学
-
20
4x+3x=7xって、xについての方程式ですよね? 式がいくつかあって、方程式がどれかを記号で選ぶ問
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
計算式の問題です。
-
1/∞=0は、なぜ?
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
説明変数と被説明変数とは何で...
-
記号(イコールの上に三角形)...
-
数学における 等価と同値って同...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
等式記号に似た三本線
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
p,qを整数とし、f(x)=x^2+px+q...
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
数二 a+b+c=0のとき次の等式を...
-
数学的帰納法
-
【数3 積分法】 上と下の写真の...
-
x^n+1をx^2+x+1で割った余りを...
-
方程式の移行について
-
解き方を教えてください
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
SQL文のwhere条件文で使う <> ...
-
1/∞=0は、なぜ?
-
京都大学理系 過去問 整数問題
-
Xの二乗-X+1=0 という2次方程式...
-
数学で、項を指すとき、例えば2...
-
数学の等式の証明の最後を省略...
-
数学 剰余の定理
-
化学反応式について教えて下さ...
-
VBAでセルの右下をいちばん下ま...
-
等式記号に似た三本線
-
どうしてa>0, b>0のとき、a=b⇔a...
-
「別々のセルの3つの日付が同じ...
-
nは偶数で、nに45をかけるとあ...
-
x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)
-
高2数学です α二乗+β二乗=α...
-
数学における 等価と同値って同...
-
二重根号についてです。 なぜ下...
-
1/7=1/m+1/nを満たすmとnの求め方
-
数学の質問です。(2)の導けとは...
-
定数分離すべきかどうか。
おすすめ情報