2024.4.7 03:42の質問に対する2024.4.13 10:50の回答の画像より、 tan(

2024.4.7 03:42の質問に対する2024.4.13 10:50の回答の画像より、
tan(z)のローラン展開に関しては、
n≧-1の時のみa(n)の式が存在するので、
画像のローラン展開の公式より、

tan(z)
=a(-1)/(θ-π/2)+a(0)(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)^2+a(2)(θ-π/2)^3+...
=-1/(θ-π/2)+(1/3)×(θ-π/2)^2+0+...
となるわけですね。

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 質問の仕方が少し間違っていました。
  
  質問者からお礼より、
  要はf(z)=tan(z)のようなk=1からa(n)の式を導く際にRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の式を使うには、
  
  (質問者からお礼に画像を載せられなかったので)こちらに載せた画像より赤い下線部の式から青い下線部の式を導くようにn=1などの値の決まった値の時に、
  
  f(z)=tan(z)のようなk=1からa(n)の式を導く際にRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の式が使えるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2024/04/21 22:02

• 編集しました。
  
  質問の仕方が少し間違っていました。
  
  質問者からお礼より、
  要はf(z)=tan(z)のようなk=1からa(n)の式を導く際にRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の式を使うには、
  
  (質問者からお礼に画像を載せられなかったので)こちらに載せた画像より赤い下線部の式から青い下線部の式を導くようにn=1などの値の決まった値の時に、
  
  f(z)=tan(z)の(ようなz=π/2の時に極を持ち最大指数である)k=1の時からからa(n)の式を導く際にRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の式が使えるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2024/04/22 01:26

• 編集しました。
  
  質問の仕方が少し間違っていました。
  
  質問者からお礼より、
  要はf(z)=tan(z)のようなk=1からa(n)の式を導く際にRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の式を使うには、
  
  (質問者からお礼に画像を載せられなかったので)こちらに載せた画像より赤い下線部の式から青い下線部の式を導くようにn=1などの値の決まった値の時に、
  
  f(z)=tan(z)はz=π/2の時に最大指数とか関係なくk=1の極を持つからa(n)の式を導く際にRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の式が使えるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/04/22 02:25

• ありがとうございます。
  
  すなわち、
  「Res(tan(z),π/2)=a(-1)=lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)」のように、
  n=1などの値の決まった時にしか
  
  Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式は使えないということでしょうか？
  
  
  画像に関してはn=1などの値の決まった値を使っていないのに、青い文字の式を使って、赤い下線部の式を導きましたが、
  なぜ、正しい式、すなわち、赤い下線部の式が導けたのでしょうか？
  
  
  また、赤い下線部の式は、
  a(n)
  =lim_{z→-1}1/(z-1)^(n+2)
  =-1/(-2)^(n+2)で正しいでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2024/04/22 21:02

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/22 19:46

f(z)=tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから

公式
「
f(z)がz=cで1位の極を持つとき
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)
」
は使えて

Res(tan(z),π/2)=a(-1)=lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)

とはいえるけれども

a(n)の式は導けない

g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)はz=π/2でk=(n+2)位の極をもつから

Res(g(z),π/2)
=Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
={1/(k-1)!}lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
={1/(n+2-1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2) g(z)
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)=a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

といえるけれども

Res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)から
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を
導いているのではない

tan(z)=Σ{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
から
a(n)={1/(n+1)!}lim[z→π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
を
導いている

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/22 19:33

f(z)=tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから

公式
「
f(z)がz=cで1位の極を持つとき
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)
」
は使えて

Res(tan(z),π/2)=a(-1)=lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)

とはいえるけれども

a(n)の式は導けない

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/22 19:23

f(z)=tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから

公式
「
f(z)がz=cで1位の極を持つとき
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)
」
は使えるけれども

「
f(z)がz=cで1位の極を持つとき
」
の条件を除いた
「
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)
」
は公式ではない

公式は
「
f(z)がz=cで1位の極を持つとき
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)
」
である

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/22 17:36

f(z)がz=cで1位の極を持つときに限り

Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)
の公式は存在するけれども
f(z)がz=cで1位の極を持たなければ
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)は成り立たないので
公式は存在しません
g(z)がz=cで1位の極を持つときに限り
Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)
の公式は存在するけれども
g(z)がz=cで1位の極を持たなければ
Res(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)は成り立たないので
公式は存在しません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

f(z)=tan(z)はz=π/2でk=1の極を持ちますが、
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式は使えるのでしょうか？

使えない場合は使えない理由を教えて下さい。

お礼日時：2024/04/22 18:27

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/22 16:46

訂正します

tan(z)
=a(-1)/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^3+...
=-1/(θ-π/2)+(1/3)×(θ-π/2)+0+...

は間違いで正しくは

tan(z)
=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+a(2)(z-π/2)^2+a(3)(z-π/2)^3+...
=-1/(z-π/2)+(1/3)×(z-π/2)+0+...

です

この回答へのお礼

訂正ありがとうございます。

補足に答えて頂けると大変ありがたいです。

また、
Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式は存在しますがRes(g(z),c)=lim_{z->c}(z-c)g(z)の公式は存在するのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/04/22 17:11

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/21 11:12

違います

tan(z)
=a(-1)/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+a(2)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^3+...
=-1/(θ-π/2)+(1/3)×(θ-π/2)+0+...

です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

2024.4.7 03:42の質問の2024.4.7 17:55の補足ついて2024.4.12 20:45に以下の解答を頂きましたが
「2024.4.7 17:55の補足の誤りは

a(n)
は誤りで
a(-1)
が正しい

=res(tan(z),a)
は誤りで
=res(tan(z),π/2)
が正しい

=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
は誤りで
=1/(1-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(1-1)(z-π/2)^1tan(z)
が正しい

=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
は誤りで
=1/(0)! lim[z->π/2](d/dz)^(0)(z-π/2)tan(z)
が正しい

=lim[z->a](z-a)tan(z)
は誤りで
=lim[z->π/2](z-π/2)tan(z)
が正しい」

に関しては、
2024.4.13 10:50の解答に頂いた画像の赤い下線部のn≧-1の時の式が青い下線部のn=-1の時の式の事を言っているのだとわかりました。

すなわちf(z)=tan(z)のようなk=1からa(n)の式を導くには、nの値の指定はあれど、
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}あるいはRes(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)が使える式であるとわかりました。

(※a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}に関してはkが1以外の時でも使える。)

お礼日時：2024/04/21 21:14