振動数vをもつ一つの振動子についてエネルギーE以下のエネルギーをもつ量子状態の数を求めよ。の問題で写

振動数vをもつ一つの振動子についてエネルギーE以下のエネルギーをもつ量子状態の数を求めよ。の問題で写真で？つけた所がよく分かりません。優しく丁寧に教えて頂きたいです。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/04/24 16:49

(1/2)hν＋ｎhν≦E　となるようなｎの最大をNとすれば

求める状態数はｎ＝0の場合も含めるからN+1、
ところで
(1/2)hν＋Nhν≦E、かつ(1/2)hν＋(N+1)hν＞E　だから
左の不等式からN+1≦(E+(1/2)hν)/hν
右の不等式から(N+1)＋1＞(E+(1/2)hν)/hν
これはN+1が(E+(1/2)hν)/hνを超えない最大整数ということ、
つまり
N+1＝[(E+(1/2)hν)/hν]　です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/24 00:58

No.2 です。

あ、ふつうの数式のカッコとして [ ] を使ってしまいましたね。
#2 で使っている [ ] はただのカッコであり、ガウス記号ではありませんので念のため。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/24 00:53

あまり難しく考えることはなく

　E = En
のときのE の取り得る「状態数」はいくつか、という話だと思います。
要するに「0～n」の個数ということ。
n=0 もあり得るので、「n + 1」ということです。

そこの式の真ん中に「サンメーション」の式があるのでかえって分かりずらいですね。
それはきっと「E0～E のエネルギー状態の数の総数」ということを言いたいのでしょうね。

ということで、

　E = En = (1/2)hν + nhν

ですから、
　nhν = E - (1/2)hν
→　n = [E - (1/2)hν]/hν
よって
　n + 1 = [E - (1/2)hν]/hν + 1 = [E + (1/2)hν]/hν
となります。

あとは、よくある E >> (1/2)hν のとき
　[E + (1/2)hν]/hν ≒ E/hν
と近似できるという話です。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/04/24 00:39

手取り足取り丁寧に、分かりやすく書いてあると思うけどなあ。

　Ω₀(E)は「Eより小さいエネルギーEnを持つ量子状態の個数」なので、（従って、その個数を数えることは「En ≦ EとなるEnの個数だけ1を足し算する」ことと同じであり、だからΣ_{En ≦ E}1と表せるんだが、そんなことはとりあえず余計な話で、）結局
　　(n + 1/2)hν ≦ E
であるような非負の整数nはいくつありますか、と尋ねているのと同じ。
　さて、hν>0なので、n以外を右辺に移して
　　n ≦ E/(hν) - 1/2
とすれば、その個数Ω₀(E)が
　　Ω₀(E) ＝ [E/(hν) - 1/2]（[ ]はgaussの記号）
であることは明らかでしょう。
　特にE/(hν)が1/2に比べてうんと大きい時には
　　[E/(hν) - 1/2] ≒ E/hν
だから、
　　Ω₀(E) ≒ E/(hν)

で、何が分からん？