より早く加速するほうがエネルギーが多く必要か

空気抵抗がない状態で

①時速50kmから20km加速する
②時速100kmから20km加速する

・・・時に、必要なエネルギーは、①と②で、は同じでしょうか？
それとも②の方が大きいでしょうか？

運動エネルギーが速度の二乗に比例することを考えると、②の方が大きいとは思うのですが、同じ20km加速するのに必要なエネルギーが違ってくるのは不思議です。なぜこうなるのでしょう？

これくらいの速度ならほぼ無視できること（相対性理論など）は考慮に入れないとして。

No.14 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/12 02:23

実に素晴らしいご質問だな〜

　速さvのものを速さv+wにしたとき、運動エネルギーの差は
　　E(v+w) - E(v) = (1/2) m(2vw + w^2)
　で、vw という項が出てきた。wが一定であるとしたとき、この式は「vに依存して、加えたエネルギーは違う」ということを意味する。逆に言えば、同じエネルギーを加えても、到達する速さ(v+w)はvに依存して変わるということだ。
　で、これっておかしくないか、というご質問。もちろん、ニュートン力学の範囲での議論ですね。

　回答は、ANo.3に一票。つまり、

●「同じ加速度を同じ時間だけ加える(=力積/m が同じ)」ということと「加速に使ったエネルギーが同じ」ということは別

ってことです。

　どうやって加速するかを具体的に考えてみてはいかが。まず一様な重力加速度gを利用する方式。つまり、質量mのボールを真下に向けて初速vで投げる。そして速さがv+wになった瞬間を考える。掛かる時間tは
　t = w/g
であり、その間に落ちた距離h(v)は
　　h = vt + (1/2)gt^2 = (2vw+ w^2) / (2g)
で、この間に獲得した運動エネルギーの増加分は最初に書いた通り、そして、ボールが失った位置エネルギーはもちろんこれと一致する。
　　U(h) = mgh = (1/2)m(2vw+ w^2) = E(v+w) - E(v)

　wを一定としてvをいろいろ変えると考えると、tはvに依らない（つまり、同じ加速度を同じ時間だけ加えた）。しかしhはvに依存し、だからU(h)=mghもvに依存する。

　まだしっくり来ないなら、加速の方法を変えてみる。
　重力がない宇宙空間に質量mのボールが速さvで飛んでいる。その後ろから質量μの鉄球を速さV(もちろんV＞v)で追突させてボールの速さをv+wにすることを考える。鉄球はボールの真後ろに正確に当たり、完全弾性衝突して、速さWで跳ね返るとしましょう。
　跳ね返った鉄球の運動エネルギーを差し引いて、ボールに加えられた正味のエネルギーを計算するには、運動量保存則とエネルギー保存則の連立方程式を使うことになりますが、それはご自分で検討できるのではないか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/05/03 21:34

No.13 回答者： fxq11011 回答日時： 2015/09/10 11:27

単位をいじって遊んで見ました。

質量＝ｍ、距離＝ｄ、時間＝ｓ、速度＝Ｖ
①エネルギーＥ＝ｍｖｖ （注　ｖｖ＝ｖの二乗、以下ｓｓ，ｄｄも同じ）
②速度Ｖ＝ｄ／ｓ
③加速度＝ｄ／ｓｓ
①②から、Ｅ＝ｍ・ｄｄ／ｓｓ　注　ｄｄ／ｓｓ＝ｄ／ｓの二乗（ｖの二乗）
④加速度で割ると、ｍ・ｄｄ／ｓｓ・ｓｓ／ｄ＝ｍｄ（質量×距離）
∴　Ｅ＝ｍｄ×加速度
エネルギーＥ＝質量×距離×加速度
加速度＝２０Ｋｍ／ｓｓとすれば。
⑤５０ｋｍ／ｓから１秒で７０ｋｍ／ｓ
このときの移動距離＝６０ｋｍ／ｓ×１秒＝６０ｋｍ （６０ｋｍ/sは平均速度）
⑥１００ｋｍ／ｓから１秒で１２０ｋｍ／ｓ
このときの移動距離＝１１０ｋｍ／ｓ×１秒＝１１０ｋｍ　(１１０ｋｍ/sは平均速度）
⑤の時のエネルギーは質量×６０ｋｍ×２０ｋｍ／ｓｓ
⑥の時のエネルギーは質量×１１０ｋｍ×２０ｋｍ／ｓｓ
⑦　④：⑤＝６０：１１０（比を分数にすると、質量、加速度は約分されて消える）
質量が同じならば、エネルギーは加速中に移動した距離に比例するる
従って、加速初めの初速が速い程、加速に必要なエネルギーは大きくなる。
実は、加速度が大きいほど、エネルギも大きくなると思いたいのだが、時間が短くなり、効率は上がるが、エネルギの総量は変わらないのが不満だが・・・・。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/05/03 21:34

No.12 回答者： fxq11011 回答日時： 2015/09/08 19:38

加速度だけでは即力・エネルギーに変換できませんね。

重力加速度＝一定
重力加速度が質量に作用して、重さを生じる、重さ、単位Ｋg、力も単位、Ｋg。
エネルギー=力×距離
重力に逆らってなら、仕事と言われますね、重力に逆らわずに水平移動、慣性等速運動なら？、はずみ車からエネルギ取り出せますね。
NO10さんに１票
加速させる！、作用加えるとすれば、反作用がありますね。
地上でボールを投げるのと、同じ要領で無重力の人口衛星の中で浮かんだ状態で投げるとボールの速度はどうなるのかな？。

No.11 回答者： ふくろう 回答日時： 2015/09/08 06:30

No.9 ですが、補足します

　これまでの議論で、エネルギーを測る観測者をどこに置くのか、つまりエネルギーを計算するための基準となる慣性系の選択という観点が抜け落ちていると思います。

　例えば位置エネルギーであれば、ある物体の位置エネルギーは、その定義より、観測者の位置によってまちまちに決まってきます。

　同様に、ある物体の運動エネルギーは、観測者がその物体とどのような相対運動をしているかによって、これもまちまちに決まってくるはずです。

例えば、私が No.9 で挙げた例、

　①(地上に静止している人が、力を加えて)、時速50kmから20km加速する
　②(地上に静止している人が、力を加えて)、時速100kmから20km加速する
　③時速１00kmで運動している物体に、時速50kmで物体と併走している人　　が、物体に力を加えて(エネルギーを与えて)、時速120kmまで加速する。

において、地上で静止している人から観測すれば、
　
　①に必要なエネルギーより、②に必要なエネルギーの方が大きい、
　　(それぞれの観測値を、仮に、a, b としましょう。すると　a<b です。）
　
のは当然ですが、

　③に必要なエネルギーを時速50kmで物体と同方向に運動している観測者から見た値は、①に必要なエネルギーを、地上に静止している観測者から見た値（=a) に等しい。しかしこのエネルギーを地上に静止している観測者から見た場合の値は、飽くまでも②に必要なエネルギーを地上に静止している観測者から見た値(=b)に等しい。

　ここでは、③の場合、加速によって物体の得たエネルギーの観測値は、観測者が物体とどのような相対運動をしているかによってまちまちです。

　このように、運動エネルギーを語る上では、運動エネルギーを測る観測者を予め一つに決めておかなければ、議論は何時までもかみ合いません。

　今回の質問者の説例(質問者の上げている文中の①、②において）では、地上に固定された観測者から見た場合のエネルギーの大小は、①<② ですが、物体の加速前の状態で物体と同じ速度で運動している観測者から見た、加速に必要なエネルギーの大小は、①=② です。

No.10 回答者： uen_sap 回答日時： 2015/09/07 14:37

②が大きい

エネルギー=力×距離
ですから移動距離が大きい（即、速度が大きい）ほうがエネルギー大・・・自明ですね

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/05/03 21:34

No.9 回答者： ふくろう 回答日時： 2015/09/07 06:18

必要なエネルギーは、物体の、加速前と加速後の運動エネルギーの差だけで決まります。

(当然、②の方が①よりも多くのエネルギーを要する)
　加速に要する時間は、何の関係も無いのでは。

質問者さんは、

①(地上に静止している人が、力を加えて)、時速50kmから20km加速する
②(地上に静止している人が、力を加えて)、時速100kmから20km加速する

に加えて、

③時速１00kmで運動している物体に、時速50kmで物体と併走している人が、物体に力を加えて(エネルギーを与えて)、時速120kmまで加速する。

の場合を考え、

『③の場合に物体に与えるエネルギーが、時速50kmで運動している人にとっては、①の場合のエネルギーと同じであるのは不思議、では無いか。』

という疑問を感じていらっしゃるのでは。

　尚、自転車を漕ぐ時など日常生活では、(一定速度で走行中は)速さと共に急激に大きくなる抵抗力に逆らうエネルギーが必要ですから、これより更に加速するのであれば、ゆっくり動いている状態から加速するのと速く動いている状態から加速するのでは必要な力は大きく違ってきます。
しかしこれはここでの問題(抵抗の無い)という仮定とは全く条件が違います。

No.8 回答者： oshiete_bitte 回答日時： 2015/09/07 00:22

難しい計算は判らない。

薄学なので。

しかるに、仮に歩いている状態から軽くジョギング状態にもっていくのと、ジョギングから目一杯走るのでは素人目で考えても前者の方が消費が少ない。これは何にでも当てはまるのではないか？

No.7 回答者： fxq11011 回答日時： 2015/09/05 19:23

>①時速50kmから20km加速する

②時速100kmから20km加速する
間違えない表現すると、
①速度50Km/hから70Km/hに加速するとき。
②速度100Km/hから120Km/hに加速するとき。
必要」なエネルギーの差は？ですね。
加速に要する時間が同じなら、必要なエネルギーは同じです。加速に要する時間が短いと①のほうが大きなエネルギーが必要なこともあります。
例、重力加速度による自由落下、質量が同じなら途中で加わるエネルギー？に変化は無い。
1秒毎に秒速980cm/s、ずつ速度が上がる、その時の秒速には無関係

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2015/09/05 11:43

日常的に「エネルギー」と呼んでいますが、その実体はいったい何なのでしょうね。

意外に、この概念は難しいのです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%8D …

　力学的には、「外部から加えた仕事が、エネルギーの増減になる」ということで、ご質問の場合には、「20km加速する」のに、外部からどれだけの仕事を加えたか、ということで決まります。

　「同じ20km加速する」といっても、「時速20kmから20km加速すれば、速度は2倍」ですが、「時速1000kmから20km加速すれば、速度は1.02倍（2%増し）」です。さらには「静止状態から20km加速する」のはかなり大変です。これに要する「外部からの仕事」が同じだとしたら、それもまた不可思議だと思いませんか？
　また、経験的には、「重いものを加速するには大きな仕事が必要」ということもありますよね？

　結論から言えば、「仕事は、力と距離の掛け算」で決まります。単純な「速度差」でも「速度の倍数」でも決まりません。「加速する力は、物体の質量（重量）によって異なる」「力を加えて加速すると、時々刻々速度も変わるので、移動距離が変わる」という状況で「力と距離の掛け算」をするので、「速度差」では一律には決まらない、ということになります。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/sigoto/si …

　我々は、「運動エネルギー」が、速度を v とすると「(1/2)mv^2 」で表わされることを知っていますので、具体的にどうなるか、それで計算してみましょう。

　計算が面倒なので、「1kg」の物体を、「時速」ではなく「秒速で」
①　秒速50m/sから20m/s加速する（50→70m/s）
②　秒速100m/sから20m/s加速する（100→120m/s）
のケースで比較すれことにします。
　「時速」のときには、それを「秒速」に換算して同じような計算をすればよいです。

①　秒速50m/sの運動エネルギー：(1/2)mv^2 = 1250(J)
　　秒速70m/sの運動エネルギー：(1/2)mv^2 = 2450(J)
　従って、加速に要するエネルギーは、1200(J)

②　秒速100m/sの運動エネルギー：(1/2)mv^2 = 5000(J)
　　秒速120m/sの運動エネルギー：(1/2)mv^2 = 7200(J)
　従って、加速に要するエネルギーは、2200(J)

となって、「加速に要するエネルギー」（加速のために、外部から加える仕事）は異なることになります。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/09/05 11:25

この説明で納得してくれるかわかりませんが、

例えば①、②は車が西から東方向へ走るとします。
東方向への加速は、西方向に走る車にブレーキをかけても
同じように起こります。この場合は運動エネルギーは「減ります」。

つまり、同じように加速してもエネルギーが増えたり
減ったりするわけで、はなから加速とエネルギーの変化には
比例関係どころか、正負さえも一致しないのです。

加速(速度変化)に対応するのは運動量の変化です。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/05/03 21:34